Question

【題目】已知關于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．

（1）求證：無論k取任何實數時，方程總有實數根；

（2）當拋物線y=kx2+（2k+1）x+2圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為正整數時，若P（a，y1），Q（1，y2）是此拋物線上的兩點，且y1＞y2，請結合函數圖象確定實數a的取值范圍；

（3）已知拋物線y=kx2+（2k+1）x+2恒過定點，求出定點坐標．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）a＞1或a＜﹣4；（3）拋物線恒過定點（0，2）、（﹣2，0）．

【解析】試題分析：（1）分類討論：該方程是一元一次方程和一元二次方程兩種情況．當該方程為一元二次方程時，根的判別式△≥0，方程總有實數根；

（2）通過解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到該拋物線解析式為y=x2+3x+2，結合圖象回答問題．

（3）根據題意得到kx2+（2k+1）x+2-y=0恒成立，由此列出關于x、y的方程組，通過解方程組求得該定點坐標．

試題解析：（1）證明：①當k=0時，方程為x+2=0，所以x=﹣2，方程有實數根，

②當k≠0時，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，

∴無論k取任何實數時，方程總有實數根；

（2）解：令y=0，則kx2+（2k+1）x+2=0，

解關于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣，

∵二次函數的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數，且k為正整數，

∴k=1．

∴該拋物線解析式為y=x2+3x+2，

由圖象得到：當y1＞y2時，a＞1或a＜﹣4．

（3）依題意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

則，

解得或．

所以該拋物線恒過定點（0，2）、（﹣2，0）．