Question

【題目】如圖，已知一條直線過點（0，4），且與拋物線y= x2交于A，B兩點，其中點A的橫坐標是﹣2．

（1）求這條直線的函數關系式及點B的坐標．
（2）在x軸上是否存在點C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由．
（3）過線段AB上一點P，作PM∥x軸，交拋物線于點M，點M在第一象限，點N（0，1），當點M的橫坐標為何值時，MN+3MP的長度最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A是直線與拋物線的交點，且橫坐標為﹣2，

∴y= ×（﹣2）2=1，A點的坐標為（﹣2，1），

設直線的函數關系式為y=kx+b，

將（0，4），（﹣2，1）代入得 ，

解得 ，

∴直線y= x+4，

∵直線與拋物線相交，

∴ x+4= x2，

解得：x=﹣2或x=8，

當x=8時，y=16，

∴點B的坐標為（8，16）

（2）如圖1，連接AC，BC，

∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2=325．

設點C（m，0），同理可得AC2=（m+2）2+12=m2+4m+5，

BC2=（m﹣8）2+162=m2﹣16m+320，

①若∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2，即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320，

解得：m=﹣ ；

②若∠ACB=90°，則AB2=AC2+BC2，即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320，

解得：m=0或m=6；

③若∠ABC=90°，則AB2+BC2=AC2，即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325，

解得：m=32；

∴點C的坐標為（﹣ ，0），（0，0），（6，0），（32，0）

（3）解：設M（a， a2），如圖2，設MP與y軸交于點Q，

在Rt△MQN中，由勾股定理得MN= = a2+1，

又∵點P與點M縱坐標相同，

∴ +4= a2，

∴x= ，

∴點P的橫坐標為 ，

∴MP=a﹣ ，

∴MN+3PM= +1+3（a﹣ ）=﹣ a2+3a+9，

∴當a=﹣ =6，

又∵2≤6≤8，

∴取到最大值18，

∴當M的橫坐標為6時，MN+3PM的長度的最大值是18．

【解析】（1）由拋物線的解析式可求得點A的縱坐標，然后利用待定系數法確定直線的解析式，將直線和拋物線的解析式聯立可求得交點的坐標；
（2）過點B作BG∥x軸，過點A作AG∥y軸，交點為G，然后分若∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2；若∠ACB=90°，則AB2=AC2+BC2；若∠ABC=90°，則AB2+BC2=AC2三種情況求得m的值，從而確定點C的坐標；
（3）設M（a，a2），MP與y軸交于點Q，在Rt△MQN中依據勾股定理可求得MN的長（用含a的式子表示），然后根據點P與點M縱坐標相同得到x=，從而得到MN+3PM關于a的函數關系是，最后，依據二次函數的性質可得到MN+3PM的長度的最大值.