Question

【題目】如圖，AB為△ABC外接圓⊙O的直徑，點P是線段CA延長線上一點，點E在圓上且滿足PE2=PAPC，連接CE，AE，OE，OE交CA于點D．
（1）求證：△PAE∽△PEC；
（2）求證：PE為⊙O的切線；
（3）若∠B=30°，AP= AC，求證：DO=DP．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PE2=PAPC，

∴ ，

∵∠APE=∠EPC，

∴△PAE∽△PEC

（2）解：如圖1，

連接BE，

∴∠OBE=∠OEB，

∵∠OBE=∠PCE，

∴∠OEB=∠PCE，

∵△PAE∽△PEC，

∴∠PEA=∠PCE，

∴∠PEA=∠OEB，

∵AB為直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠OEB+∠OEA=90°，

∵∠PEA+∠OEA=90°，

∴∠OEP=90°，

∵點E在⊙O上，

∴PE是⊙O的切線

（3）解：如圖，

過點O作OM⊥AC于M，

∴AM= AC，

∵BC⊥AC，

∴OM∥BC，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOM=30°，

∴OM= AM= AC，

∵AP= AC，

∴OM= AP，

∵PC=AC+AP=2AP+AP=3AP，

∴PE2=PA×PC=PA×3PA，

∴PE= PA，

∴OM=PE，

∵∠PED=∠OMD=90°，∠ODM=∠PDE，

∴△ODM≌△PDE，

∴OD=DP

【解析】（1）利用兩邊對應成比例，夾角相等，兩三角形相似即可；（2）連接BE，轉化出∠OEB=∠PCE，又由相似得出∠PEA=∠PCE，從而用直徑所對的圓周角是直角，轉化出∠OEP=90°即可；（3）構造全等三角形，先找出OD與PA的關系，再用等積式找出PE與PA的關系，從而判斷出OM=PE，得出△ODM≌△PDE即可．