Question

【題目】在△ABC中，DE垂直平分AB ，分別交AB、BC于點D 、E，MN垂直平分AC，分別交AC、BC于點M、N，連接AE，AN.

(1)如圖1，若∠BAC= 100°，求∠EAN的度數；

(2)如圖2，若∠BAC=70°，求∠EAN的度數；

(3)若∠BAC=a(a≠90°)，請直接寫出∠EAN的度數. (用含a的代數式表示)

Answer 1

【答案】(1)∠EAN=20°；(2)∠EAN=40°；(3)當0<a<90°時，∠EAN=180°-2a；當180°>a>90°時，∠EAN=2a -180°.

【解析】

（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，再根據等邊對等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的內角和定理求出∠B+∠C，再根據∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）代入數據進行計算即可得解；

（2）同（1）的思路，最后根據∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入數據進行計算即可得解；

（3）根據前兩問的求解，分α＜90°與α＞90°兩種情況解答．

(1)因為DE垂直平分AB，

所以AE=BE，∠BAE=∠B，

同理可得∠CAN= ∠C，

所以∠EAN=∠BAC -∠BAE-∠CAN=∠BAC -(∠B+∠C），

在△ABC中，∠B+∠C=180°- ∠BAC=80°，

所以∠EAN= 100-80=20°；

(2)因為 DE垂直平分AB，

所以AE= BE，∠BAE=∠B，

同理可得∠CAN= ∠C，

所以∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，

在△ABC中，∠B+∠C= 180°-∠BAC= 110°，

所以∠EAN=110°- 70°=40°；

(3)當0<a<90°時，∠EAN=180°-2a；

當180°>a>90°時，∠EAN=2a -180°.