Question

【題目】已知E、F分別為正方形ABCD的邊BC、CD上的點，且∠EAF＝45°．

（1）如圖①求證：BE+DF＝EF；

（2）連接BD分別交AE、AF于M、N，

①如圖②，若AB＝6，BM＝3，求MN．

②如圖③，若EF∥BD，求證：MN＝CE．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①5；②證明見解析.

【解析】

（1）延長CB到G，使GB＝DF，連接AG，求證△ABG≌△ADF，得∠3＝∠2，AG＝AF，進而求證△AGE≌△AFE，可得GB+BE＝EF，所以DF+BE＝EF．

（2）①如圖2，把△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADM′，連接NM′．就可以得出△ABM≌△ADM′，就有∠BAM＝∠DAM′，就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN＝M′N，由勾股定理就可以得出結論MN2＝DN2+BM2；

②設正方形ABCD的邊長為a，求出MN，EC即可判斷；

（1）證明：證明：延長CB到G，使GB＝DF，連接AG（如圖1），

∵AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，GB＝DF，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠3＝∠2，AG＝AF，

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠1+∠2＝45°，

∴∠GAE＝∠1+∠3＝45°＝∠EAF，

∵AE＝AE，∠GAE＝∠EAF，AG＝AF，

∴△AGE≌△AFE（SAS），

∴GB+BE＝EF，

∴DF+BE＝EF；

（2）①解：如圖2，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴∠ABM＝∠ADN＝45°．

把△ABM繞點A逆時針旋轉90°得到△ADM'．連結NM'．

∴△ABM≌△ADM′（旋轉不變性），

∴DM'＝BM，AM'＝AM，∠ADM'＝∠ABM＝45°，∠DAM'＝∠BAM．

∴∠ADB+∠ADM′＝45°+45°＝90°，

即∠NDM′＝90°．

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAM+∠DAN＝45°，

∴∠DAM′+∠DAF＝45°，

即∠M′AN＝45°，

∴∠M'AN＝∠MAN．

在△AMN和△AM′N中

，

∴△AMN≌△AM′N（SAS），

∴M'N＝MN．

∵∠NDM′＝90°，

∴M'N2＝DN2+DM'2，

∴MN2＝DN2+BM2；

設MN＝x，則DN＝12﹣3﹣x＝9﹣x，

∴x2＝33+（9﹣x）2，

∴x＝5，

∴NM＝5；

②證明：如圖3中，設正方形ABCD的邊長為a．

∵EF∥BD，

∴∠CEF＝∠CBD＝45°，∠CFE＝∠CDB＝45°，

∴∠CEF＝∠CFE＝45°，

∴CE＝CF，

∴BE＝DF，

∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF，BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴∠BAE＝∠DAF，

∵∠EAF＝45°，

∴∠BAE＝∠DAF＝22.5°，

∴∠AEB＝∠BME＝67.5°，

∴BM＝BE，同理可證：DN＝DF，

∴BM＝DN＝BE＝DF，設BM＝x，則MN＝x，

∴2x+x＝a，

∴x＝（﹣1）a，

∴MN＝（2﹣）a，EC＝BC﹣BE＝（2﹣）a，

∴MN＝EC．