Question

如圖（1），已知在△ABC中，AB=AC=10，AD為底邊BC上的高，且AD=6。將△ACD沿箭頭所示的方向平移，得到△A′CD′。如圖（2），A′D′交AB于E，A′C分別交AB、AD于G、F。以D′D為直徑作⊙O，設BD′的長為x，⊙O的面積為y。

（1）求y與x之間的函數關系式及自變量x的取值范圍；
（2）連結EF，求EF與⊙O相切時x的值；
（3）設四邊形ED′DF的面積為S，試求S關于x的函數表達式，并求x為何值時，S的值最大，最大值是多少？

Answer 1

解：（1），
∴BD=CD=8，
∴DD′=BD-BD′=8-x，
∴，
即。
（2）∵△BD′E≌△CDF，
∴ED′=DF，
，
∴四邊形ED′DF是矩形，
∴EF∥DD′，
若DF與⊙O相切，則ED′=D′D，
，
∴△BED′∽△BAD，
∴，即，
∴，
∴，
解得：，
因此，當時，EF與⊙O相切。
（3），
∴x=4時，滿足0<x<8，S的值最大，最大值為12。