Question

【題目】已知：如圖，邊長為2的正五邊形ABCDE內接于⊙O，AB、DC的延長線交于點F，過點E作EG∥CB交BA的延長線于點G．

（1）求證： ；
（2）證明：EG與⊙O相切，并求AG、BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：欲證AB2=AGBF，可證△EAG∽△FBC及正五邊形ABCDE的特點得出；求AG、BF的長，需連接EF，易證明EF⊥BC，得出EF⊥EG，依據EG與⊙O相切，用切線的性質得出．

試題解析：證明：（1）易證五邊形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，

∵EG∥CB，

∴∠EAG=∠FBC．

∴△EAG∽△FBC．

∴，即BCAE=AGBF．

又∵BC=AE=AB，

∴ ．①

（2）連接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC為等腰三角形，易知BA=CD，

∴FA=FD，

∴EF⊥BC且EF平分BC，

∴EF過圓心O．

又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，

∴EG與⊙O相切．

∴ ．

由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，

設AG=x，則 ，解得

∴AG=，代入①中可得：BF=.