Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（1,0）、C，交y軸于點B，對稱軸x=-1與x軸交于點D．
（1）求該拋物線的解析式和B、C點的坐標；
（2）設點P（x，y）是第二象限內該拋物線上的一個動點，△PBD的面積為S，求S關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）點G在x軸負半軸上，且∠GAB=∠GBA，求G的坐標；
（4）若此拋物線上有一點Q，滿足∠QCA=∠ABO,若存在，求直線QC的解析式；若不存在，試說明理由.

Answer 1

（1）y=-x²-2x+3，C（-3,0）、B（0,3）；（2）S=－x²-（-3＜x＜0）；（3）G（-4,0）；(4)存在，，或.

解析試題分析：（1）先根據拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（1，0），對稱軸為x=-1，列出關于b、c的方程組，解方程組求出b、c的值，得到拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；再解方程-x²-2x+3=0，求出x的值，得到C點的坐標；將x=0代入y=-x²-2x+3，求出y的值，得到B點的坐標；
（2）過點P作PE⊥x軸于點E，根據S=S_梯形PEOB-S_△BOD-S_△PDE求出S關于x的函數關系式，再根據點P（x，y）是第二象限內該拋物線上的一個動點，得出自變量x的取值范圍；
（3）設G點坐標為（a，0），則a＜0．根據等角對等邊得出GB=GA，由此列出方程a²+3²=（1-a）²，解方程求出a的值，即可得到G點坐標；
（4）先根據正切函數的定義得出tan∠ABO=，由于∠QCA=∠ABO，得到tan∠QCA=，再由直線斜率的意義可知直線QC的斜率|k|=，則k=±．由此可設直線QC的解析式為y=x+n，或y=-x+n，然后將C點坐標（-3，0）代入，求出n的值，即可得到直線QC的解析式．
試題解析：(1) b=-2，c="3" ，C（-3,0）、B（0,3）
(2)過點P作PE⊥x軸于點E．
S=S_梯形PEOB﹣S_△BOD﹣S_△PDE=．
將y=－x²-2x+3代入得S=－x²-x+-﹣=－x²-x．
∴-3＜x＜0．
∴S關于x的函數關系式為：S=－x²-（-3＜x＜0）．
（3）G（-4,0）
(4)存在
直線QC解析式為，或.
考點：二次函數綜合題．