Question

如圖，拋物線y=－x²+x－2交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，分別過點B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點D，將△BDC繞點C逆時針旋轉，使點D旋轉到y軸上得到△FEC，連接BF．
（1）求點B，C所在直線的函數解析式；
（2）求△BCF的面積；
（3）在線段BC上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）直線BC的解析式為y=x﹣3；
（2）△BCF的面積為10；
（3）在線段BC上存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形與△BOC相似， P點坐標為（2，﹣1）或（，﹣）．

解析試題分析：（1）根據坐標軸上點的坐標特征可得點B，C的坐標，再根據待定系數法可得點B，C所在直線的函數解析式；
（2）根據勾股定理可得BC的長，根據旋轉的性質和三角形面積公式即可求解；
（3）存在．分兩種情況討論：①過A作AP₁⊥x軸交線段BC于點P₁，則△BAP₁∽△BOC；②過A作AP₂⊥BC，垂足點P₂，過點P₂作P₂Q⊥x軸于點Q．則△BAP₂∽△BCO；依此討論即可求解．
試題解析：（1）當y=0時，﹣x²+x﹣2=0，
解得x₁=2，x₂=4，
∴點A，B的坐標分別為（2，0），（4，0），
當x=0時，y=﹣2，
∴C點的坐標分別為（0，﹣2），
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，
解得．
∴直線BC的解析式為y=x﹣3；
（2）∵CD∥x軸，BD∥y軸，
∴∠ECD=90°，
∵點B，C的坐標分別為（4，0），（0，﹣2），
∴BC==2，
∵△FEC是由△BDC繞點C逆時針旋轉得到，
∴△BCF的面積=BC•FC=×2×2=10；
（3）存在．分兩種情況討論：
①過A作AP₁⊥x軸交線段BC于點P₁，則△BAP₁∽△BOC，
∵點A的坐標為（2，0），
∴點P₁的橫坐標是2，
∵點P₁在點BC所在直線上，
∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1，
∴點P₁的坐標為（2，﹣1）；
②過A作AP₂⊥BC，垂足點P₂，過點P₂作P₂Q⊥x軸于點Q．

∴△BAP₂∽△BCO，
∴,
∴，
解得AP₂=，
∵，
∴AP₂•BP=CO•BP₂，
∴×4=2BP₂，
解得BP₂=，
∵AB•QP₂=AP₂•BP₂，
∴2QP₂=×，
解得QP₂=，
∴點P₂的縱坐標是﹣，
∵點P₂在BC所在直線上，
∴x=，
∴點P₂的坐標為（，﹣），
∴滿足條件的P點坐標為（2，﹣1）或（，﹣）．
考點：二次函數綜合題．