Question

在四邊形中，，且．取的中點，連結．

（1）試判斷三角形的形狀；
（2）在線段上，是否存在點，使．若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）等腰直角三角形（2）存在，當時，有一點，；當時，有兩點，

解：（1）在四邊形中，，，
四邊形為直角梯形（或矩形）．
過點作，垂足為，，

又點是的中點，點是的中點，
又，
，
與是全等的等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形．
（2）存在點使．
以為直徑，為圓心作圓．
當時，四邊形為矩形，，
圓與相切于點，此時，點與點重合，存在點，使得，
此時．
當時，四邊形為直角梯形，
，，圓心到的距離小于圓的半徑，圓與相交，上存在兩點，使，
過點作，在中，，

連結，則，
在直角三角形中，，
．
同理可得：．
綜上所述，在線段上存在點，使．
當時，有一點，；當時，有兩點，．
根據已知條件，得到四邊形ABCD為直角梯形或矩形．
（1）過點P作PQ⊥BC，易證PQ=BQ=QC，則△PQB與△PQC是全等的等腰直角三角形，因而△PBC是等腰直角三角形．
（2）判斷在線段BC上，是否存在點M，使AM⊥MD，利用相似三角形的性質與判定得出即可．