Question

【題目】如圖，∠AOB=90°，C在OB的延長線上，D為⊙O上一點，∠BAD=∠BDC．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為1，且OB=BC，求四邊形AOBD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）作直徑BE，連接OD、DE，如圖，利用圓周角定理得到∠BDE=90°，∠E=∠BAD，由于∠BAD=∠BDC．則∠E=∠BDC，加上∠DBO=∠BDO，則∠BDC+∠BDO=90°，然后根據切線的判定定理可得到CD是⊙O的切線；

（2）先根據直角斜邊上中線性質得DB=OB=OD，則△OBD為等邊三角形，所以S△OBD=，

∠BOD=60°，再作DF⊥OA于F，如圖，則DF=OD=，所以S△ODA=，然后利用四邊形AOBD的面積=S△OBD+S△ODA進行計算即可．

試題解析：

（1）證明：作直徑BE，連接OD、DE，如圖，

∵BE為直徑，

∴∠BDE=90°，

∴∠DBE+∠E=90°，

∵∠E=∠BAD，∠BAD=∠BDC,

∴∠E=∠BDC，

∵OB=OD，

∴∠DBO=∠BDO，

∴∠BDC+∠BDO=90°，即∠CDO=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切線.

（2）解：∵OB=CB，

∴BD為直角△ODC的斜邊OC的中線，

∴DB=OB=OD，

∴△OBD為等邊三角形，

∴S△OBD=OB2=，∠BOD=60°，

∵OA⊥OB，

∴∠AOD=30°，

作DF⊥OA于F，如圖，

在Rt△ODF中，DF=OD=，

∴S△ODA=1=，

∴四邊形AOBD的面積=S△OBD+S△ODA=+=．