Question

（2012•鄭州模擬）已知二次函數y=ax²+bx-2的圖象經過點A（1，0）及B（-2，0）兩點．
（1）求二次函數的表達式及拋物線頂點M的坐標；
（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q，當點N在線段BM上運動時（點N不與點B、點M重合），設NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并寫出四邊形NQAC的面積的最大值；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC為直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用交點式得出拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+2），將C（0，-2）坐標代入求出a的值即可；
（2）利用待定系數法求出線段BM所在的直線的解析式，再利用S=S_△AOC+S_梯形OCNQ求出S與t間的函數關系式即可求出最值；
（3）利用①若∠APC=90°，則PC²+PA²=AC²，②若∠ACP=90°，則PC²+AC²=PA²，③若∠PAC=90°，則AC²+PA²=PC²，分別求出m的值即可得出P點坐標．

解答：解：（1）∵二次函數y=ax²+bx-2的圖象經過點A（1，0）及B（-2，0）兩點．
∴設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+2），將C（0，-2）坐標代入，-2=a（0-1）（0+2），
解得：a=1，
故y=x²+x-2=（x+

1

2

） ²-

9

4

；則其頂點M的坐標是（-

1

2

，-

9

4

）．

（2）設線段BM所在直線的解析式為y=kx+b，
∴

0=-2k+b - 9 4 =- 1 2 k+b

．
解得：

k=- 3 2 b=-3

，
∴線段BM所在的直線的解析式為y=-

3

2

x-3．
∵-t=-

3

2

x-3，∴x=

2

3

t-2，點N的坐標為N（

2

3

t-2，-t），
∴S=S_△AOC+S_梯形OCNQ=

1

2

×1×2+

1

2

（2+t）•|

2

3

t-2|=-

1

3

t2+

1

3

t+3．
∴S與t間的函數關系式為S=-

1

3

t2+

1

3

t+3=-

1

3

（t²-t）+3=-

1

3

（t-

1

2

）²+

37

12

，
故t=

1

2

時，S的最大值為

37

12

．

（3）存在符合條件的點P，
設點P的坐標為P(-

1

2

，m)，如圖，連接PA、PC，作CE⊥MP于E．
則AC²=1²+2²=5；PA2=(-

1

2

-1)2+m2；PC2=(

1

2

)2+(m+2)2．
分以下幾種情況討論：
①若∠APC=90°，則PC²+PA²=AC²，
即(-

1

2

-1)2+m2+(

1

2

)2+(m+2)2=5，
解得：m1=-

1

2

，m2=-

3

2

，
②若∠ACP=90°，則PC²+AC²=PA²，
即(

1

2

)2+(m+2)2+5=(-

1

2

-1)2+m2，
解得：m=-

7

4

．
③若∠PAC=90°，則AC²+PA²=PC²，(-

1

2

-1)2+m2+5=(

1

2

)2+(m+2)2，
解得：m=

3

4

．
綜上所述，存在滿足條件的點P，其坐標分別是：P1(-

1

2

，-

1

2

)，P2(-

1

2

，-

3

2

)，P3(-

1

2

，-

7

4

)，P4(-

1

2

，

3

4

)．

點評：本題考查了二次函數綜合題以及勾股定理的應用等知識，注意△PAC為直角三角形時，需要分三種情況進行討論，以防漏解．