Question

【題目】如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足為F．

（1）若AC=10，求四邊形ABCD的面積；
（2）求證：AC平分∠ECF；
（3）求證：CE=2AF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD

∴∠BAC=∠EAD，

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

∵S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD，

∴

（2）證明：∵△ACE是等腰直角三角形，

∴∠ACE=∠AEC=45°，

由△ABC≌△ADE得：

∠ACB=∠AEC=45°，

∴∠ACB=∠ACE，

∴AC平分∠ECF

（3）證明：過點A作AG⊥CG，垂足為點G，

∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，

∴AF=AG，

又∵AC=AE，

∴∠CAG=∠EAG=45°，

∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，

∴CG=AG=GE，

∴CE=2AG，

∴CE=2AF．

【解析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根據SAS推出△ABC≌△ADE，推出四邊形ABCD的面積=三角形ACE的面積，即可得出答案；（2）根據等腰直角三角形的性質得出∠ACE=∠AEC=45°，△ABC≌△ADE求出∠ACB=∠AEC=45°，推出∠ACB=∠ACE即可；（3）過點A作AG⊥CG，垂足為點G，求出AF=AG，求出CG=AG=GE，即可得出答案．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°才能正確解答此題．