Question

【題目】如圖，點在軸上， ，將線段繞點順時針旋轉，使點與點重合.

（1）求點的坐標；

（2）求經過、、三點的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點，使得以點、、為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點的坐標：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）B（-4,-4）;(2) ；（3）（4,-4）.

【解析】試題分析：（1）過B點作BC⊥x軸，垂足為C，利用∠BOC=60°，可求出線段OC和BC的長即可得到點B的坐標；（2）∵拋物線過原點O， ∴可設拋物線解析式為y=ax2+bx，將A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，然后解方程組即可；（3）設存在點P（2，y）滿足條件，然后分①OB=OP，②OB=PB，③OP=BP，三種情況討論.

試題解析：（1）如圖，過B點作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°，

∵∠AOB=120°，

∴∠BOC=60°，

又∵OA=OB=4，

∴OC=OB=×4=2，BC=OB×sin60°=4×=2，

∴點B的坐標為（﹣2，﹣2）；

（2）∵拋物線過原點O和點A．B，

∴可設拋物線解析式為y=ax2+bx，

將A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得

， 解得，

∴此拋物線的解析式為y=﹣x2+x

（3）存在，

如圖，

拋物線的對稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點為D，設點P的坐標為（2，y），

①若OB=OP，

則22+|y|2=42，

解得y=±2，

當y=2時，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，

∴∠POD=60°，

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，

即P、O、B三點在同一直線上，

∴y=2不符合題意，舍去，

∴點P的坐標為（2，﹣2）

②若OB=PB，則42+|y+2|2=42，

解得y=﹣2，

故點P的坐標為（2，﹣2），

③若OP=BP，則22+|y|2=42+|y+2|2，

解得y=﹣2，

故點P的坐標為（2，﹣2），

綜上所述，符合條件的點P只有一個，其坐標為（2，﹣2）.