Question

【題目】已知拋物線與直線有兩個不同的交點．下列結論：①；②當時，有最小值；③方程有兩個不等實根；④若連接這兩個交點與拋物線的頂點，恰好是一個等腰直角三角形，則；其中正確的結論的個數是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據“拋物線與直線有兩個不同的交點”即可判斷①③；根據拋物線的對稱軸為直線x=1即可判斷②；根據等腰直角三角形的性質，用c表達出兩個交點，代入拋物線解析式計算即可判斷④．

解：∵拋物線與直線有兩個不同的交點，

∴有兩個不相等的實數根，即有兩個不相等的實數根，故③正確，

∴，解得：，故①正確；

∵拋物線的對稱軸為直線x=1，且拋物線開口向上，

∴當x=1時，為最小值，故②正確；

若連接這兩個交點與拋物線的頂點，恰好是一個等腰直角三角形，

則頂點（1，c-2）到直線y=2的距離等于兩交點距離的一半，

∵頂點（1，c-2）到直線y=2的距離為2-（c-2）=4-c，

∴兩交點的橫坐標分別為1-（4-c）=c-3與1+（4-c）=5-c

∴兩交點坐標為（c-3,2）與（5-c,2），

將（c-3,2）代入中得：

解得：或

∵，

∴，故④錯誤，

∴正確的有①②③，

故選：B．