Question

已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑的⊙O交斜邊AB于E，OD∥AB．求證：①ED是⊙O的切線；②2DE²=BE•OD．

Answer 1

證明：①連接OE，
∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A，∠DOE=∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∴∠COD=∠DOE，
在△COD和△EOD中，

OC=OE ∠COD=∠EOD OD=OD

，
∴△COD≌△EOD（SAS），
∴∠OCD=∠OED=90°，
∴DE⊥OE，
則DE為圓O的切線；
②由△COD≌△EOD，得到CD=ED，
∵BC為圓O的切線，BA為圓O的割線，
∴BC²=BE•BA，
∵O為AC的中點，OD∥AB，
∴D為BC的中點，即OD為△ABC的中位線，
∴BA=2OD，BC=2CD=2DE，
則4DE²=BE•2OD，即2DE²=BE•OD．