Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，BC=3，動點P從B出發，以每秒1個單位的速度，沿射線BC方向移動，作△PAB關于直線PA的對稱△PAB' ，設點P的運動時間為t（s）．

（1）若AB=2．

①如圖2，當點B' 落在AC上時，求t的值；

②是否存在異于圖2的時刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的t值？若不存在，請說明理由.

（2）若四邊形ABCD是正方形，直線PB'與直線CD相交于點M，當點P不與點C重合時，求證：∠PAM=45°.

Answer 1

【答案】（1）①t=2－4；②存在，t=2；t=6；t=2；（2）詳見解析

【解析】

（1）①利用勾股定理求出AC，由△PCB′∽△ACB，推出即可解決問題．

②分三種情形分別求解即可：如圖2-1中，當∠PCB′=90°時．如圖2-2中，當∠PCB′=90°時．如圖2-3中，當∠CPB′=90°時．

（2）如圖3-1中，當t<3時，由四邊形ABCD是正方形，證明△MDA≌△MB’A，即可得到結論，如圖3-2中，當t>3時，設∠APB=x，利用全等三角形的性質，翻折不變性即可解決問題．

解：（1）①如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°， ∴

∵∠PCB′=∠ACB，∠PB′C=∠ABC=90°，

∴△PCB′∽△ACB，

∴

∴

∴

∴

②如圖2-1中，當∠PCB′=90°時，

∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠D=90°，AB=CD= AD=BC=3，

∴

∴

在Rt△PCB′中，∵

∴

∴

如圖2-2中，當∠PCB′=90°時，

在Rt△ADB′中，，

在Rt△PCB′中則有：

解得t=6．

如圖2-3中，當∠CPB′=90°時，則

則四邊形為正方形，

綜上所述，滿足條件的t的值為2s或6s或s．

（2）如圖3-1，當t<3時，

又∵翻折，

∴∠1=∠2，AB=AB’，∠B=∠AB’P

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB=AB’ ，∠D=∠B=∠AB’P= 90°

∵AM=AM

∴△MDA≌△MB’A（HL）

∴∠3=∠4

∴∠2+∠3=45°，

即∠PAM=45°

　　　（圖3-1）

如圖3-2，當t>3時，設∠APB=x

∴∠PAB=90°－x

∴∠DAP＝x

同理：△MDA≌△MB’A（HL）

∴∠B’AM＝∠DAM

∵翻折

∴∠PAB＝∠PAB’＝90°－x

∴∠DAB’＝∠PAB’－∠DAP＝90°－2x

∴∠DAM＝∠DAB’＝45°－x

∴∠MAP=∠DAM+∠PAD=45°

（圖3-2）