Question

已知，把Rt△ABC和Rt△DEF按圖1擺放，（點C與E點重合），點B、C、E、F始終在同一條直線上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8，BC=6，EF=10，如圖2，△DEF從圖1出發，以每秒1個單位的速度沿CB向△ABC勻速運動，同時，點P從A出發，沿AB以每秒1個單位向點B勻速移動，AC與△DEF的直角邊相交于Q，當P到達終點B時，△DEF同時停止運動，連接PQ，設移動的時間為t（s）．解答下列問題：

（1）△DEF在平移的過程中，當點D在Rt△ABC的邊AC上時，求t的值；
（2）在移動過程中，是否存在△APQ為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（3）在移動過程中，當0＜t≤5時，連接PE，是否存在△PQE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰三角形性質求出即可；
（2）①AP=AQ，求出即可；②AP=PQ，作PH⊥AC于H，根據相似得出比例式，即可求出答案；③AQ=PQ，作PH⊥AC于H，根據相似得出比例式，④當5≤t≤10時，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，利用相似與勾股定理，即可求出答案；
（3）分為三種情況，①∠PQE=90°，②∠PEQ=90°，③∠EPQ=90°，根據勾股定理得出方程，求出方程的解，看看是否滿足小于10即可．
解答：解：（1）當D在AC上時，
∵DE=DF，
∴EC=CF=EF=5，
∴t=5．

（2）存在．
∵AP=t，∠EDF=90°，∠DEF=45°，
∴∠CQE=45°=∠DEF，
∴CQ=CE=t，
AQ=8-t，當0≤t＜5時，
①AP=AQ，
t=8-t，
∴t=4；
②AP=PQ，
作PH⊥AC于H，
AH=HQ=AQ=4-t，
∵PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴t=；
③AQ=PQ，
作QI⊥AB于I，
AI=PI=AP=t（等腰三角形的性質三線合一），
∵∠AIQ=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△AIQ∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴t=，
④當5≤t≤10時，AQ=PQ，作PH⊥BC，PG⊥AC，
同理可求出，
FC=QC=10-t，BP=10-t，
PH=（10-t）=8-t，
BH=（10-t）=6-t，
QG=QC-GC=QC-PH=10-t-（8-t）=2-，
PG=HC=6-（6-t）=t，
PQ=AQ=8-（10-t）=t-2，
∴PQ ²=PG ²+QG ²，
（t-2）²=（t） ²+（2-） ²，
解得：t=秒，
其它情況不符合要求，
綜合上述：當t等于4秒、秒、秒、秒時△APQ是等腰三角形．

（3）由勾股定理：CE=CQ=t，
∵sinA===，cosA===，
∴PW=t，AW=t，
∴QW=8-t-t=8-t，
∴PQ²=PM²+QW²=（t）²+（8-t）²=t²-t+64，
PE²=PH²+EH²=（t+8-t）²+（t-t）²=t²-t+64，
①∠PQE=90°，
在Rt△PEQ中
PQ²+QE²=PE²，
∴t1=0（舍去） t₂=；
②∠PEQ=90°，
PE²+EQ²=PQ²
t₁=0（舍去） t₂=20（舍去）
∴此時不存在；
③當∠EPQ=90°時
PQ²+PE²=EQ²，
t₁=（舍去） t₂=4，
綜合上述：當t=或t=4時，△PQE是直角三角形．
點評：本題綜合運用了等腰三角形的判定，直角三角形的性質，相似三角形的性質和判定，勾股定理等知識點，此題難度較大，綜合性強，用的數學思想是分類討論思想．