Question

【題目】已知任意三角形ABC，

（1）如圖1，過點C作DE∥AB，求證：∠DCA=∠A；

（2）如圖1，求證：三角形ABC的三個內角（即∠A、∠B、∠ACB）之和等于180°；

（3）如圖2，求證：∠AGF=∠AEF+∠F；

（4）如圖3，AB∥CD，∠CDE=119°，GF交∠DEB的平分線EF于點F，∠AGF=150°，求∠F．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）三角形的內角和為180°（3）∠AGF=∠AEF+∠F（4）29.5

【解析】試題分析：（1）根據平行線的性即可得到結論；

（2）因為平角為180°，若能運用平行線的性質，將三角形三個內角集中到同一頂點，并得到一個平角，問題即可解決；

（3）根據平角的定義和三角形的內角和定理即可得到結論；

（4）根據平行線的性質得到∠DEB=119°，∠AED=61°，由角平分線的性質得到∠DEF=59.5°，根據三角形的外角的性質即可得到結論．

試題解析：證明：（1）∵DE∥BC，∴∠DCA=∠A；

（2）如圖1所示，在△ABC中，∵DE∥BC，∴∠B=∠1，∠C=∠2（內錯角相等）．

∵∠1+∠BAC+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．

即三角形的內角和為180°；

（3）∵∠AGF+∠FGE=180°，由（2）知，∠GEF+∠EG+∠FGE=180°，∴∠AGF=∠AEF+∠F；

（4）∵AB∥CD，∠CDE=119°，∴∠DEB=119°，∠AED=61°，∵GF交∠DEB的平分線EF于點F，∴∠DEF=59.5°，∴∠AEF=120.5°，∵∠AGF=150°，∵∠AGF=∠AEF+∠F，∴∠F=150°﹣120.5°=29.5°．