Question

【題目】已知△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖1所示，A點坐標為（﹣4，0），B點坐標為（6，0），點D為AC的中點，點E是拋物線在第二象限圖象上一動點，經過點A，B，C三點的拋物線的解析式為y=ax2+bx+8．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接DE，把點A沿直線DE翻折，點A的對稱點為點G，當點G恰好落在拋物線的對稱軸上時，求G點的坐標；
（3）圖2中，點E運動時，當點G恰好落在BC上時，求E點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+8經過點A（﹣4，0），B（6，0），

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的解析式是：y=﹣ x2+ x+8

（2）解：過點D作DM⊥對稱軸于點M，過點D作DF⊥x軸于點F，

令x=0代入y=﹣ x2+ x+8，

∴y=8，

∴C（0，8），

∴OC=8，

∵點D為AC的中點，DF∥OC

∴DF是△AOC的中位線，

∴FO=2，DF= OC=4，

∴D（﹣2，4），

在Rt△AOC中，

由勾股定理可知：AC= ，

∴AD= AC=2 ，

∵點A與點G關于直線DE對稱，

∴DG=AD=2 ，

由（1）可知：拋物線y=﹣ x2+ x+8的對稱軸為：x=1，

∴M的坐標為（1，4），

∴DM=1﹣（﹣2）=3，

當點G恰好落在拋物線的對稱軸上時，

設G點的坐標為（1，n），

∴MG=|4﹣n|，

在Rt△GDM中，DG2=DM2+MG2，

32+（4﹣n）2=20，解得n=4± ，

∴G點的坐標為（1，4+ ）或（1，4﹣ ）

（3）解：當點G恰好落在BC上時，

由對稱性可知：AD=DG=CD，

∴A、C、G三點在以D為圓心，AD為半徑的圓上，

連接AG，

由于AC是⊙D的直徑，

∴∠AGC=90°，

∵點A與點G關于ED對稱，

∴ED⊥AG，

∴ED∥CG，

設直線BC的解析式為：y=kx+m，

將點C（0.8）、B（6，0）代入y=kx+m，

∴

∴解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=﹣ x+8，

∴可設直線ED的直線解析式為：y=﹣ x+d，

將D（﹣2，4）代入y=﹣ x+d，

∴4= +d，

∴d= ，

∴直線ED的解析式為：y=﹣ x+ ，

聯立

解得：x=3± ，

∵E是拋物線在第二象限圖象上一動點，

∴E點的坐標為（ ）

【解析】（1）把點A和點B的坐標代入拋物線的解析式，得到關于a、b的方程組，從而可求得a與b的值，從而可求出拋物線的解析式；
（2）過點D作DM⊥對稱軸于點M，過點D作DF⊥x軸于點F，接下來，求得C、D、M的坐標，從而可求出AD、DM、DG的長度，由于點G在拋物線上，可設G（1，n），最后，再依據勾股定理列方程求解即可；
（3）當點G恰好落在BC上時，由對稱性可得到AD=DG=CD，則A、C、G三點在以D為圓心，AD為半徑的圓上，連接AG，依據圓周角定理可得到∠AGC=90°，于是可證明ED∥BC，然后再求出直線BC的解析式，從而可求出ED的解析式，最后，聯立直線DE的解析式與拋物線的解析式即可求出點E的坐標.