Question

【題目】如圖1．在菱形ABCD中，AB=2 ，tan∠ABC=2，∠BCD=α，點E從點D出發，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設運動時間為t（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉α度，得到對應線段CF，連接BD、EF，BD交EC、EF于點P、Q．

（1）求證：△ECF∽△BCD；
（2）當t為何值時，△ECF≌△BCD？
（3）當t為何值時，△EPQ是直角三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

證明：菱形ABCD中，BC=CD，

由旋轉的性質可知，CE=CF，

∴ = ，

又∵∠FCE=∠DCB=α，

∴△FCE∽△DCB

（2）

由（1）知，△FCE∽△DCB，

∴當CE=CB=CD時，△FCE≌△DCB；

①E、D重合，此時t=0；

②如圖，過點C作CM⊥AD，

當EM=MD時，EC=CD，

Rt△CMD中，MD=CDcos∠CDA=2 × =2，

∴t=ED=2MD=4，

∴當t=0或4時，△FCE≌△DCB

（3）

∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°．

①當∠EQD=90°時，

∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，

∴∠CBD=∠CEF，

∵∠BPC=∠EPQ，

∴∠BCP=∠EQP=90°．

在Rt△CDE中，∠CED=90°，

∵AB=CD=2 ，tan∠ABC=tan∠ADC=2，

∴DE=2，

∴t=2秒；

②當∠EPQ=90°時，

∵菱形ABCD對角線AC⊥BD，

∴EC和AC重合．

∴DE=2 ，

∴t=2 秒；

∴當t=2或者2 時，△APQ為直角三角形．

【解析】（1）根據對應邊成比例、夾角相等的兩個三角形相似證明；（2）根據全等三角形的性質、余弦的概念計算；（3）分∠EQD=90°、∠EPQ=90°兩種情況，根據正切的概念、菱形的性質解答．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似圖形的相關知識，掌握形狀相同，大小不一定相同（放大或縮小）;判定:①平行；②兩角相等；③兩邊對應成比例，夾角相等；④三邊對應成比例．