Question

【題目】感知：如圖①，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，正方形CDEF的頂點D，F分別在邊AC，BC上，易證：AD=BF（不需要證明）；

（1）探究：將圖①的正方形CDEF繞點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°），連接AD，BF，其他條件不變，如圖②，求證：AD=BF；
（2）應用：若α=45°，CD= ，BE=1，如圖③，則BF= ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖②，

∵四邊形CDEF為正方形，

∴CD=CF，

由旋轉得：∠ACD=∠BCF，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，

∴AC=BC，

∴△ADC≌△BFC，

∴AD=BF；

（2）
【解析】應用：如圖③，∵四邊形CDEF為正方形，
∴∠EDC=90°，ED=DC，
∵DC= ，
∴EC= = =2，
∴BC=BE+EC=1+2=3，
∴AC=BC=3，
過D作DG⊥AC于G，
∵α=45°，
即∠ACD=45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴DG=CG=1，
∴AG=BC﹣CG=3﹣1=2，
由勾股定理得：AD= = = ，
同理得：△ADC≌△BFC，
∴BF=AD= ．

【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形和勾股定理的概念，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此題．