Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2－2x－3的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，連接BC，點D為拋物線的頂點，點P是第四象限的拋物線上的一個動點(不與點D重合)．

(1)求∠OBC的度數；

(2)連接CD，BD，DP，延長DP交x軸正半軸于點E，且S△OCE＝S四邊形OCDB，求此時P點的坐標；

(3)過點P作PF⊥x軸交BC于點F，求線段PF長度的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 45°;(2) P(2，－3);(3).

【解析】

（1）由拋物線解析式可得三角形各點坐標，判斷三角形形狀，即可得到其內角；

（2）過點D作DH⊥x軸于點H，由不規則圖象面積分割求和的方法求得面積，得到點E坐標，再求得直線ED解析式，聯立拋物線方程即可得到點P坐標；

（3）先分別表示出點F和點P坐標，再利用已知條件用其坐標表示線段PF的長度，再根據二次函數性質求得其最大值即可.

解：(1)A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)，D(1，－4)．∵OC＝OB＝3，∴△OBC為等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°.

(2)過點D作DH⊥x軸于點H，此時S四邊形OCDB＝S梯形OCDH＋S△HBD，∵OH＝1，OC＝3，HD＝4，HB＝2，∴S梯形OCDH＝·(OC＋HD)·OH＝，S△HBD＝·HD·HB＝4，∴S四邊形OCDB＝.∴S△OCE＝S四邊形OCDB＝＝·OC·OE，∴OE＝5，∴E(5，0)．∴lDE：y＝x－5.∵DE交拋物線于P，設P(x，y)，∴x2－2x－3＝x－5，解得 x＝2 或x＝1(D點，舍去)，∴xP＝2，代入lDE：y＝x－5，∴P(2，－3)．

(3)如圖，lBC：y＝x－3.∵F在BC上，∴yF＝xF－3.∵P在拋物線上，∴yP＝x－2xP－3，∴PF＝yF－yP＝xF－3－(x－2xP－3)．∵xP＝xF，∴PF＝－x＋3xP＝－(xP－)2＋ (1＜xP＜3)，∴當xP＝時，線段PF長度最大，最大值為.