Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC中，AB＝12．以AB為直徑的半⊙O與邊AC相交于點D．過點D作DE⊥BC，垂足為E；過點E作EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）求EF的長；

（3）求sin∠EFD的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF＝；（3）sin∠EFD＝.

【解析】

（1）先判斷出△AOD是等邊三角形，進而得出OD∥BC，即可得出結論；
（2）先求出CD=6，進而求出CE，即可求出BE，即可得出結論；
（3）先求出OG，DG，再求出BF，即可求出FG，利用勾股定理求出DF，即可得出結論．

（1）如圖1，連接OD，

∴∠A＝∠ADO，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A＝∠B＝60°，

∴∠A＝∠ADO＝60°，

∴△AOD是等邊三角形，

∴∠AOD＝60°＝∠B，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴DE⊥OD，

∵點D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線；

（2）由（1）知，OD∥BC，

∵OA＝OB，

∴AD＝CD，

∵AC＝12，

∴CD＝6，

在Rt△CDE中，∠C＝60°，

∴∠CDE＝30°，

∴CE＝CD＝3，

∴BE＝BC﹣CE＝9，

在Rt△BEF中，∠B＝60°，

∴∠BEF＝30°，

∴EF＝BEcos∠BEF＝9×cos30°＝；

（3）如圖2，連接DF，OD，過點D作DG⊥AB于G，

∵EF⊥AB，

∴∠EFD＝∠GDF，

∵△AOD是等邊三角形，

∴OG＝OA＝3，

∴DG＝OGtan∠AOD＝3，

在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，BE＝9，

∴BF＝BE＝，

∴OF＝OB﹣BF＝6﹣＝

∴FG＝OG+OF＝，

在Rt△DGF中，根據勾股定理得，DF＝＝，

∴sin∠EFD＝sin∠GDF＝＝＝．