Question

【題目】已知菱形中，為對角線，點是的中點，連接交于點，的垂直平分線交于點，交于點，連接.

（1）若，求證：四邊形是正方形

（2）已知，求的長；

（3）若固定，設(shè)，將繞著點從點開始逆時針旋轉(zhuǎn)過程中，菱形也隨之變化，且滿足，若是直角三角形，直接寫出的值；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3） ．

【解析】

（1）由菱形的性質(zhì)可得，由垂直平分線的性質(zhì)可得，，由等邊對等角可得：，等量代換可得，由平行線的判定及性質(zhì)可得，＝90°，繼而由正方形的判定求證結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)可知，，由相似三角形的判定可得，繼而由相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可得：，根據(jù)題（1）可知，進(jìn)而可證△BGE∽△BAD，由此可知，代入數(shù)據(jù)，求出，最后由線段垂直平分線的性質(zhì)求解；

（3）根據(jù)題意，從旋轉(zhuǎn)過程中可看出，線段在旋轉(zhuǎn)360°的過程中，由0°增大到90°再減小到0°再增加到90°再到0°，據(jù)此結(jié)合圖形即可求解．

解：（1）∵四邊形是菱形

∴，∴，∵的垂直平分線交于點

∴，∴，∴

∴∴∵，

∴∵四邊形是菱形

∴四邊形是正方形

（2）∵四邊形是菱形

∴，∴；

∴∴

∵∴△BGE∽△BAD，∴

∵∴

∵的垂直平分線交于點∴．

（3）若是直角三角形時的值可能是60°，90°，270°或300°

∵從旋轉(zhuǎn)過程中可看出，線段在旋轉(zhuǎn)360°的過程中，由0°增大到90°再減小到0°再增加到90°再到0°

∴第一次出現(xiàn)是直角三角形時，如圖1所示，此時為的一半，可得旋轉(zhuǎn)角度即為60°；第二次出現(xiàn)是直角三角形時，如圖2所示，此時（1）中已證明旋轉(zhuǎn)角度即為90°；當(dāng)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時到達(dá)的下方，同理可得旋轉(zhuǎn)角度為270°和300°．