Question

【題目】如圖，直線y=kx+b（k、b為常數(shù)）分別與x軸、y軸交于點A（﹣4，0）、B（0，3），拋物線y=﹣x2+2x+1與y軸交于點C，點E在拋物線y=﹣x2+2x+1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，CE+EF的最小值是（　 　）

A. 1.4 B. 2.5 C. 2.8 D. 3

Answer 1

【答案】C

【解析】分析:由A、B兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線解析式；過P作PH⊥AB于點H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點Q，則可證明△PHQ∽△BAO，設(shè)H（m， m+3），利用相似三角形的性質(zhì)可得到d與x的函數(shù)關(guān)系式，設(shè)C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C′，由對稱的性質(zhì)可得CE=C′E，則可知當(dāng)F、E、C′三點一線且C′F與AB垂直時CE+EF最小，由C點坐標(biāo)可確定出C′點的坐標(biāo)，利用所求函數(shù)關(guān)系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值．

詳解: (1)由題意可得

,解得，

∴直線解析式為y=x+3；

過P作PH⊥AB于點H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點Q，

則∠AHQ=∠ABO,且∠AHP=90°，

∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠PHQ=∠BAO,且∠AOB=∠PQH=90°，

∴△PQH∽△BOA，

∴，

設(shè)H(m, m+3),則PQ=xm,HQ=m+3(x+2x+1)，

∵A(4,0),B(0,3)，

∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，

∴

整理消去m可得d=，

∴d與x的函數(shù)關(guān)系式為d=，

設(shè)C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C′,由對稱的性質(zhì)可得CE=C′E，

∴CE+EF=C′E+EF，

∴當(dāng)F. E.C′三點一線且C′F與AB垂直時CE+EF最小，

∵C(0,1)，

∴C′(2,1)，

由(2)可知當(dāng)x=2時,d==2.8，

即CE+EF的最小值為2.8.

點睛:

本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)等知識．注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，構(gòu)造相似三角形是解題的重要步驟，確定出E點的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知點較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．