Question

在平面直角坐標系中，點B（0，4），C（-5，4），點A是x軸負半軸上一點，S_{四邊形AOBC}=24．

（1）線段BC的長為

5

，點A的坐標為

（-7，0）

；
（2）如圖1，BM平分∠CBO，CM平分∠ACB，BM交CM于點M，試給出∠CMB與∠CAO之間滿足的數量關系式，并說明理由；
（3）若點P是在直線CB與直線AO之間的一點，連接BP、OP，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，BN交ON于N，請依題意畫出圖形，給出∠BPO與∠BNO之間滿足的數量關系式，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點B、C的橫坐標求出BC的長度即可；再根據四邊形的面積求出OA的長度，然后根據點A在y軸的負半軸寫出點A的坐標；
（2）根據兩直線平行，同旁內角互補用∠CAO表示出∠ACB，再根據角平分線的定義表示出∠MAB和∠MBC，然后利用三角形的內角和定理列式整理即可得解；
（3）分①點P在OB的左邊時，根據三角形的內角和定理表示出∠PBO+∠POB，再根據兩直線平行，同旁內角互補和角平分線的定義表示出∠NBP+∠NOP，然后在△NBO中，利用三角形的內角和定理列式整理即可得解；②點P在OB的右邊時，求出∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°，再根據角平分線的定義表示出∠PBN+∠PON，然后利用四邊形的內角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）∵點B（0，4），C（-5，4），
∴BC=5，
S_{四邊形AOBC}=

1

2

（BC+OA）•OB=

1

2

（5+OA）•4=24，
解得OA=7，
所以，點A的坐標為（-7，0）；

（2）∵點B、C的縱坐標相同，
∴BC∥OA，
∴∠ACB=180°-∠CAO，
∠CBO=90°，
∵BM平分∠CBO，CM平分∠ACB，
∴∠MCB=

1

2

（180°-∠CAO）=90°-

1

2

∠CAO，
∠MBC=

1

2

∠CBO=

1

2

×90°=45°，
在△MBC中，∠CMB+∠MCB+∠MBC=180°，
即∠CMB+90°-

1

2

∠CAO+45°=180°，
解得∠CMB=45°+

1

2

∠CAO；

（3）①如圖1，當點P在OB左側時，∠BPO=2∠BNO．
理由如下：在△BPO中，∠PBO+∠POB=180°-∠BPO，
∵BC∥OA，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，
∴∠NBP+∠NOP=

1

2

（180°-∠PBO-∠POB），
在△NOB中，∠BNO=180°-（∠NBP+∠NOP+∠PBO+∠POB），
=180°-[

1

2

（180°-∠PBO-∠POB）+∠PBO+∠POB]，
=90°-

1

2

（∠PBO+∠POB），
=90°-

1

2

（180°-∠BPO），
=

1

2

∠BPO，
∴∠BPO=2∠BNO；

②如圖2，當點P在OB右側時，∠BNO+

1

2

∠BPO=180°．
理由如下：∵BC∥OA，
∴∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°，
∵BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，
∴∠PBN+∠PON+

1

2

∠BPO=

1

2

×360°=180°，
∴∠PBN+∠PON=180°-

1

2

∠BPO，
在四邊形BNOP中，∠BNO=360°-∠PBN-∠PON-∠BPO=360°-（180°-

1

2

∠BPO）-∠BPO=180°-

1

2

∠BPO，
∴∠BNO+

1

2

∠BPO=180°．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，平行線的性質，以及坐標與圖形性質，準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題關鍵，（3）要注意分情況討論．