Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點D與點A關于y軸對稱，AB：BC=4：3，點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、D重合），且∠1=∠2．

（1）求AC的長和點D的坐標；

（2）求證：△AEF∽△DCE；

（3）當△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）AC=20，D的坐標為（12，0）；（2）證明見解析；（3）E（8，0）或E（，0）．

【解析】

（1）由tan∠ACB的值，求出cos∠ACB的值，再由矩形ABCO，以及AB的長，求出BC與AC的長，利用對稱性確定出D坐標即可；
（2）由對稱性得到∠CDE=∠CAO，利用等式的性質得到一對角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；
（3）當△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：當CE=EF；當EF=FC；當CE=CF時，利用相似三角形的判定與性質分別求出E坐標即可．

（1）由題意tan∠ACB=，
∴cos∠ACB=，
∵四邊形ABCO為矩形，AB=16，
∴BC==20，
∴A（-12，0），
∵點D與點A關于y軸對稱，
∴D（12，0）；
（2）∵點D與點A關于y軸對稱，
∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE，
∴∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE；
（3）當△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：
①當CE=EF時，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE=CD=20，
∴OE=AE-OA=20-12=8，
∴E（8，0）；
②當EF=FC時，過點F作FM⊥CE于M，則點M為CE中點，

∴CE=2ME=2EFcos∠CEF=2EFcos∠ACB=EF，
∵△AEF∽△DCE，
∴，即，
∴AE=，
∴DE=AE-OA=，
∴E（，0）；
③當CE=CF時，則有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=CAO，即此時點E與點D重合，這與已知條件矛盾，
綜上所述，E（8，0）或（，0）．