Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為(3，0)，與y軸交于點C（0，－3），點P是直線BC下方拋物線上的一個動點．

（1）求二次函數解析式；

（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形.是否存在點P，使四邊形為菱形？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

Answer 1

【答案】解：（1）將B、C兩點的坐標代入，得

， 解得。

∴二次函數的解析式為。

（2）存在。如圖1，假設拋物線上存在點P，使四邊形為菱形，連接交CO于點E。

∵四邊形為菱形， K∴PC=PO，且PE⊥CO。

∴OE=EC=，即P點的縱坐標為。

由解得：

（不合題意，舍去）。

∴存在這樣的點，此時P點的坐標為（，）。

（3）如圖2，連接PO，作PM⊥x于M，PN⊥y于N。設P點坐標為（x，），

由=0，得點A坐標為（－1，0）。

∴AO=1，OC=3， OB=3，PＭ=，PN＝x。

∴S四邊形ABPC=++

=AO·OC+OB·PM+OC·PN

=×1×3+×3×()+×3×x

==。

∴當x=時，四邊形ABPC的面積最大．此時P點坐標為（，），四邊形ABPC的最大面積為。

【解析】

試題（1）直接把B（3，0）、C（0，－3）代入可得到關于b、c的方程組，解方程組求得b，c，則從而求得二次函數的解析式。

（2）假設拋物線上存在點P，使四邊形為菱形，連接交CO于點E，則PO=PC，根據翻折的性質得OP′=OP，CP′=CP，易得四邊形POP′C為菱形，又E點坐標為（0， ），則點P的縱坐標為，把y=

代入可求出對應x的值，然后確定滿足條件的P點坐標。

（3）由S四邊形ABPC=++求出S四邊形ABPC關于P點橫坐標的函數表達式，應用二次函數的最值原理求解。