Question

【題目】（1）如圖1所示，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，請填空： = （直接寫出答案）；

（2）如圖2所示，將（1）中的△BOC繞點B逆時針旋轉得到△BO1C1，連接AO1，DC1，請你猜想線段AO1與DC1之間的數量關系，并證明之；

（3）如圖3所示，矩形ABCD和Rt△BEF有公共頂點B，且∠BEF=90°，∠EBF=∠ABD=30°，則的值是否為定值？若是定值，請求出該值；若不是定值，請簡述理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質和等腰直角三角形的性質計算即可；

（2）根據旋轉變換的性質得到∠ABO=∠O1B，C1，根據正方形的性質得到，證明△ABO1∽△DBC1，根據相似三角形的性質解答；

（3）根據正弦的定義和矩形的性質證明△AEB∽△DFB，根據相似三角形的性質計算即可.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC，△AOD是等腰直角三角形，

∴，

∴，

故答案為：；

（2）∵△BOC繞點B逆時針旋轉得到△BO1C1，

∴∠ABO=∠O1B，C1，

∴∠ABO1=∠DBC1，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴，又，

∴，又∠ABO1=∠DBC1，

∴△ABO1∽△DBC1，

∴；

（3）在Rt△EBF中，∠EBF=30°，

∴=，

在Rt△ABD中，∠ABD=30°，

∴，

∴，

∵∠EBF=∠ABD，

∴∠EBA=∠FBD，

∴△AEB∽△DFB，

∴.