Question

【題目】如圖,拋物線y=﹣0.5x2+bx+3,與x軸交于點B(﹣2，0)和C,與y軸交于點A,點M在y軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連結BM并延長，交拋物線于D,過點D作DE⊥x軸于E．當以B、D、E為頂點的三角形與△AOC相似時，求點M的坐標；

（3）連結BM，當∠OMB+∠OAB=∠ACO時，求AM的長．

Answer 1

【答案】（1）y=x+x+3；（2）點M的坐標為(2,0)或(2,0)；（3）點M的坐標為(0,10)或(0,10).

【解析】(1)將點B(2,0)代入拋物線的解析式y=0.5x+bx+3得

0.5×(2) 2b+3=0，

∴b=，

∴拋物線的解析式為y=x+x+3.

(2)如圖1中，

∵拋物線的解析式為y=x+x+3,

與x軸交于B(2,0),A(3,0),C(0,3)，

∴OA=OC，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∵OM∥DE，

∴△BMO∽△BDE，

∵要使B. D.E為頂點的三角形與△AOC相似，

∴只要△BOM∽△AOC,設M(0,m)，

∴OMOB=OAOC，

∴，

∴m=±2，

∴點M的坐標為(2,0)或(2,0).

(3)如圖2中，作AG⊥AC交x軸于G，BF⊥AG于F.

∵OA=OC,∠AOC=∠GAC=90，

∴∠OAC=∠ACO=∠OAG=45，

∵∠OMB+∠OAB=∠ACO=45，

∴∠FAB=∠OMB,設M(n,0)，

∵∠AFB=∠BOM=90，

∴△AFB∽△MOB，

∴點M的坐標為(0,10)或(0,10).