Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC為直徑的⊙O與AC相交于點D，過點D作DE⊥AB交CB延長線于點E，垂足為點F．

（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙O的半徑R=5，tanC=，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）直線DE是⊙O的切線；（2）．

【解析】試題分析：（1）連接圓心和切點，利用平行，OF⊥CB可證得∠ODF=90°；

（2）過D作DH⊥BC于H，設BD=k，CD=2k，求得BD、CD的長，根據三角形的面積公式得到DH的長，由勾股定理得到OH的長，根據射影定理得到OD2=OHOE，求得OE的長，從而得到BE的長，根據相似三角形的性質得到BF=2，根據勾股定理即可得到結論．

試題解析：解：（1）證明：如圖，連接OD，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠90°，∴BD⊥AC．

∵AB=BC，∴AD=DC．∵OA=OB，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∴直線DE是⊙O的切線．

（2）過D作DH⊥BC于H，∵⊙O的半徑R=5，tanC=，∴BC=10，設BD=k，CD=2k，∴BC=k=10，∴k=2，∴BD=2，CD=4，∴DH==4，∴OH==3，∵DE⊥OD，DH⊥OE，∴OD2=OHOE，∴OE=，∴BE=，∵DE⊥AB，∴BF∥OD，∴△BFE∽△ODE，∴，即，∴BF=2，∴EF==．