Question

有一根直尺的短邊長2cm，長邊長10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長12cm．如圖1，將直尺的短邊DE放置與直角三角形紙板的斜邊AB重合，且點D與點A重合．將直尺沿AB方向平移（如圖2），設平移的長度為xcm（0≤x≤10），直尺和三角形紙板的重疊部分（圖中陰影部分）的面積為Scm²．
（1）當x=0時（如圖1），S=

 

；當x=10時，S=

 

；
（2）當0＜x≤4時（如圖2），求S關于x的函數關系式；
（3）當4＜x＜10時，求S關于x的函數關系式，并求出S的最大值（同學可在圖3、圖4中畫草圖）．

Answer 1

分析：（1）當x=0時，重合部分是等腰直角三角形AEF，因此面積為

1

2

×2×2=2．
當x=10時，E與B重合，此時重合部分是等腰直角三角形BDG，面積與x=0時相同．
（2）當0＜x≤4時，F在AC上運動（包括與C重合）．重合部分是直角梯形DEFG，易知：三角形ADG和AEF均為等腰直角三角形，因此DG=x，EF=x+2，可根據梯形的面積公式求出此時S，x的函數關系式．
（3）當4＜x＜10時，F在BC上運動（與B、C不重合）．要分類討論：
①當G在AC上，F在BC上運動時，即當4＜x＜6時，重合部分是五邊形CGDEF，可用三個等腰直角三角形ABC，ADG，BEF的面積差來求得．
②當G、F同在BC上運動時（包括G、C重合），即當6≤x＜10時，解法同（2）．
根據上述兩種情況可得出兩個關于S，x的函數關系式，根據函數的性質和各自的自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對應的x的值．

解答：解：（1）2；2

（2）在Rt△ADG中，∠A=45°，
∴DG=AD=x，同理EF=AE=x+2，
∴S_梯形DEFG=

1

2

（x+x+2）×2=2x+2．
∴S=2x+2

（3）①當4＜x＜6時（如圖答1）
，
GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x，
則S_△ADG=

1

2

AD•DG=

1

2

x²，S_△BEF=

1

2

（10-x）²，
而S_△ABC=

1

2

×12×6=36，S_△BEF=

1

2

（10-x）²，
∴S=36-

1

2

x²-

1

2

（10-x）²=-x²+10x-14，
S=-x²+10x-14=-（x-5）²+11，
∴當x=5，（4＜x＜6）時，S_最大值=11．
②當6≤x＜10時（如圖答2），

BD=DG=12-x，BE=EF=10-x，S=

1

2

（12-x+10-x）×2=22-2x．
S隨x的增大而減小，所以S≤10．
由①、②可得，當4＜x＜10時，S_最大值=11．

點評：本題是運動性問題，考查了等腰直角三角形的性質，矩形的性質、圖形面積的求法及二次函數的綜合應用等知識．