Question

有一根直尺的短邊長2cm，長邊長10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，其中直角三角形紙板的斜邊長為12cm．按圖-1的方式將直尺的短邊DE放置在與直角三角形紙板的斜邊AB上，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合．若直尺沿射線AB方向平行移動，如圖-2，設(shè)平移的長度為x（cm），直尺和三角形紙板的重疊部分（圖中陰影部分）的面積為S （cm²）．
（1）當(dāng)x=0時(shí)，S=

 

；當(dāng)x=10時(shí)，S=

 

；
（2）當(dāng)0＜x≤4時(shí)，如圖-2，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)6＜x＜10時(shí)，求S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）請你作出推測：當(dāng)x為何值時(shí)，陰影部分的面積最大？并寫出最大值．

Answer 1

分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)移動的距離和三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，關(guān)鍵是要進(jìn)行分段計(jì)算，把每段算好后再進(jìn)行總結(jié)．

解答：解：（1）由題意可知：
當(dāng)x=0時(shí)，△ABC是等腰直角三角形，
此時(shí)AE=EF=2，
則陰影部分的面積為S=

1

2

×2×2=2；
故答案為：2；
當(dāng)x=10時(shí)，直尺運(yùn)動到最右邊，
陰影部分的面積為：S=

1

2

×2×2=2；
故答案為：2；

（2）當(dāng)0＜x≤4時(shí)，陰影部分的面積為：S=

1

2

×（x+2）×（x+2）-

1

2

x²=2x+2；

（3）當(dāng)6＜x＜10時(shí)，由分析可知：陰影部分的面積為：
S=

1

2

×（12-x）（12-x）-

1

2

×（12-x-2）×（12-x-2）
=

1

2

×（12-x）（12-x）-

1

2

×（10-x）×（10-x）
=-2x+22；

（4）當(dāng)4≤x≤6時(shí)，可得S=-x²+10x-14；
所以S=

2x+2       0＜x≤4 - x2+10x-14   4≤x≤6 -2x+22       6＜x＜10

則：當(dāng)x=5時(shí)，S有最大值=11．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，比較簡單．同時(shí)還有三角形的面積及不規(guī)則圖形的面積計(jì)算．