Question

【題目】如圖甲，在平面直角坐標系中，A、B的坐標分別為（4，0）、（0，3），拋物線y= x2+bx+c經過點B，且對稱軸是直線x=﹣ ．

（1）求拋物線對應的函數解析式；
（2）將圖甲中△ABO沿x軸向左平移到△DCE（如圖乙），當四邊形ABCD是菱形時，請說明點C和點D都在該拋物線上；
（3）在（2）中，若點M是拋物線上的一個動點（點M不與點C、D重合），經過點M作MN∥y軸交直線CD于N，設點M的橫坐標為t，MN的長度為l，求l與t之間的函數解析式，并求當t為何值時，以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形．（參考公式：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為（﹣ ， ），對稱軸是直線x=﹣ ．）

Answer 1

【答案】
（1）

解：由于拋物線y= x2+bx+c與y軸交于點B（0，3），則 c=3；

∵拋物線的對稱軸 x=﹣ =﹣ ，

∴b=5a= ；

即拋物線的解析式：y= x2+ x+3．

（2）

解：∵A（4，0）、B（0，3），

∴OA=4，OB=3，AB= =5；

若四邊形ABCD是菱形，則BC=AD=AB=5，

∴C（﹣5，3）、D（﹣1，0）．

將C（﹣5，3）代入y= x2+ x+3中，得： ×（﹣5）2+ ×（﹣5）+3=3，所以點C在拋物線上；

同理可證：點D也在拋物線上．

（3）

解：設直線CD的解析式為：y=kx+b，依題意，有：

，解得

∴直線CD：y=﹣ x﹣ ．

由于MN∥y軸，設 M（t， t2+ t+3），則 N（t，﹣ t﹣ ）；

② t＜﹣5或t＞﹣1時，l=MN=（ t2+ t+3）﹣（﹣ t﹣ ）= t2+ t+ ；

②﹣5＜t＜﹣1時，l=MN=（﹣ t﹣ ）﹣（ t2+ t+3）=﹣ t2﹣ t﹣ ；

若以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形，由于MN∥CE，則MN=CE=3，則有：

t2+ t+ =3，解得：t1=﹣3+2 ，t2=﹣3﹣2 ；

﹣ t2﹣ t﹣ =3，解得：t=﹣3；

綜上，l=

且當t=﹣3+2 ，t=﹣3﹣2 或﹣3時，以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】（1）拋物線y=ax2+bx+c中，（0，c）代表的是拋物線與y軸的交點，x=﹣ 是拋物線的對稱軸，據此確定待定系數．（2）已知A、B點的坐標，由勾股定理能求出AB的長，若四邊形ABCD是菱形，那么AD=BC=AB，可據此求出C、D點的坐標，再代入拋物線的解析式中進行驗證即可．（3）在求l與t之間的函數解析式時，要分兩種情況：①拋物線在直線CD上方、②拋物線在直線CD下方；先根據直線CD與拋物線的解析式，表示出M、N的坐標，它們縱坐標的差即為l的長，當以M、N、C、E為頂點的四邊形是平行四邊形時，由于CE∥MN∥y軸，那么CE必與MN相等，將CE長代入l、t的函數關系式中，即可求出符合條件的t的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的性質的相關知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．