Question

在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，方程x²=-1無解，為使開方運(yùn)算在負(fù)數(shù)范圍內(nèi)可以進(jìn)行，我們規(guī)定i²=-1．定義一種新數(shù)：Z=a+bi（{a、b為實(shí)數(shù)}），并規(guī)定實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的所有運(yùn)算法則對(duì)于新數(shù)Z=a+bi?（{a、b為實(shí)數(shù)}）；仍然成立．例如：Z²=（a+bi）²=（a+bi）•（a+bi）=a²+2a•bi+（bi）²=a²-b²+2abi，若Z=-

1

2

+

3

2

i，則Z2=(-

1

2

+

3

2

i)2=(-

1

2

)2+2(-

1

2

)(

3

2

i)+(

3

2

i)2=-

1

2

-

3

2

i，依據(jù)上述規(guī)定，
（1）若Z=-

1

2

+

3

2

i，試求Z³的值；
（2）若Z=-

1

2

+

3

2

i，試求z²⁰⁰⁸的值．

Answer 1

分析：（1）由于Z³=z²×z，把已求得的z²的值代入即可；
（2）由于z=-

1

2

+

3

2

i，z²=-

1

2

-

3

2

i，z³=1，z⁴=-

1

2

+

3

2

i，可得到3個(gè)為一輪，依次循環(huán)．那么2008÷3=669…1，那么z²⁰⁰⁸應(yīng)和z的值相等，由此即可求解．

解答：解：（1）Z³=z²×z
=（-

1

2

-

3

2

i）×（-

1

2

+

3

2

i）
=

1

4

-（

3

2

i）²
=

1

4

-

3

4

×（-1）
=1；

（2）z=-

1

2

+

3

2

i，z²=-

1

2

-

3

2

i，z³=1，z⁴=-

1

2

+

3

2

i，
∵2008÷3=669…1，
∴z²⁰⁰⁸應(yīng)和z的值相等，z²⁰⁰⁸=-

1

2

+

3

2

i．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了實(shí)數(shù)和代數(shù)式的運(yùn)算及對(duì)知識(shí)遷移運(yùn)用能力，計(jì)算分析，得到相應(yīng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．