Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點P是線段AO上（不與點A，O重合）的一個動點，過點P作PE⊥PB且PE交邊CD于點E．

（1）求證：PE＝PB；

（2）如圖2，若正方形ABCD的邊長為2，過點E作EF⊥AC于點F，在點P運動的過程中，PF的長度是否發生變化？若不變，試求出這個不變的值；若變化，請說明理由；

（3）用等式表示線段PC，PA，CE之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）在P點運動的過程中，PF的長度不發生變化．PF的長為定值；（3）．理由見解析．

【解析】

（1）做輔助線，構建全等三角形，根據ASA證明即可求解．

（2）如圖，連接OB，通過證明，得到PF=OB，則PF為定值是．

（3）根據△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得，，整理可得結論．

（1）證明：如圖①，過點P作MN∥AD，交AB于點M，交CD于點N．

∵PB⊥PE，

∴∠BPE＝90°，

∴∠MPB+∠EPN＝90°．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝∠D＝90°．

∵AD∥MN，

∴∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝∠D＝90，

∵∠MPB+∠MBP＝90°，

∴∠EPN＝∠MBP．

在Rt△PNC中，∠PCN＝45°，

∴△PNC是等腰直角三角形，

∴PN＝CN，

∴BM＝CN＝PN，

∴△BMP≌△PNE（ASA），

∴PB＝PE．

（2）解：在P點運動的過程中，PF的長度不發生變化．

理由：如圖2，連接OB．

∵點O是正方形ABCD對角線AC的中點，

∴OB⊥AC，

∴∠AOB＝90°，

∴∠AOB＝∠EFP＝90°，

∴∠OBP+∠BPO＝90°．

∴∠BPE＝90°，

∴∠BPO+∠OPE＝90°，

∴∠OBP＝∠OPE．

由（1）得PB＝PE，

∴△OBP≌△FPE（AAS），

∴PF＝OB．

∵AB＝2，△ABO是等腰直角三角形，∴．

∴PF的長為定值．

（3）解：．

理由：如圖1，∵∠BAC＝45°，

∴△AMP是等腰直角三角形，

∴．

由（1）知PM＝NE，

∴．

∵△PCN是等腰直角三角形，

∴．