Question

【題目】如圖，的對角線、相交于點，對角線繞點逆時針旋轉，分別交邊、于點、．

（1）求證：；

（2）若，，．當繞點逆時針方向旋轉時，判斷四邊形的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）平行四邊形DEBF是菱形，證明見解析.

【解析】

（1）由“ASA”可證△COE≌△AOF，可得CE=AF；

（2）由勾股定理的逆定理可證∠DBC=90°，通過證明四邊形DEBF是平行四邊形，可得DO=BO=1=BC，可得∠BOC=45°，由旋轉的性質可得∠EOC=45°，可得EF⊥BD，即可證平行四邊形DEBF是菱形．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴CD∥AB，AO=CO，AB=CD

∴∠DCO=∠BAO，且AO=CO，∠AOF=∠COE

∴△COE≌△AOF（ASA）

∴CE=AF，

（2）四邊形BEDF是菱形

理由如下

如圖，連接DF，BE，

∵DB=2，BC=1，

∴DB2+BC2=5=CD2，

∴∠DBC=90°

由（1）可得AF=CE，且AB=CD

∴DE=BF，且DE∥BF

∴四邊形DEBF是平行四邊形

∴DO=BO=1，

∴OB=BC=1，且∠OBC=90°

∴∠BOC=45°，

∵當AC繞點O逆時針方向旋轉45°時

∴∠EOC=45°

∴∠EOB=90°，即EF⊥BD

∴平行四邊形DEBF是菱形