Question

【題目】已知，四邊形是正方形，點在邊上，點在邊的延長線上，且，連接．

（1）如圖①，連接．求證：是等腰直角三角形；

（2）如圖②，與交于點，若正方形的邊長為6，，求的長．

（3）點，點分別在邊，邊上，與交于點，且，若正方形的邊長為6．求的長（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）3

【解析】

（1）證明△CDE≌△CBF即可得出結論；

（2）過作于，構建直角△AGM，證明△FGM∽△FAE，得FG＝2GM，設GM＝x，則FG＝2x，根據正方形的性質可得△BGM是等腰直角三角形，則可求出AG＝4，GM＝2，由勾股定理可得AM的長；

（3）過G作GP⊥CD于P，證明△GHP≌△CED，可得CE＝GH＝，在中利用勾股定理可求得DE的長．

解：（1）∵四邊形是正方形，

∴，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

（2）如圖，過作于，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

設，則，

∵四邊形是正方形，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴；

（3）如圖，過作于，

由（1）知：，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

在中，由勾股定理得：．