Question

【題目】某地欲搭建一橋，橋的底部兩端間的距離AB=L，稱跨度，橋面最高點到AB的距離CD=h稱拱高，當L和h確定時，有兩種設計方案可供選擇：①拋物線型，②圓弧型．已知這座橋的跨度L=32米，拱高h=8米．

（1）如果設計成拋物線型，以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立坐標系，求橋拱的函數解析式；
（2）如果設計成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑；
（3）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，在兩種方案中分別求橋墩的高度．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線的解析式為y=ax2+c，

又∵拋物線經過點C（0，8）和點B（16，0），

∴0=256a+8，a=﹣ ．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+8（﹣16≤x≤16）

（2）解：設弧AB所在的圓心為O，C為弧AB的中點，CD⊥AB于D，延長CD經過O點，設⊙O的半徑為R，

在Rt△OBD中，OB2=OD2+DB2

∴R2=（R﹣8）2+162，解得R=20

（3）解：①在拋物線型中設點F（x，y）在拋物線上，x=OE=16﹣4=12，

EF=y=3.5米；

②在圓弧型中設點F′在弧AB上，作F′E′⊥AB于E′，

OH⊥F′E′于H，則OH=D E′=16﹣4=12，O F′=R=20，

在Rt△OH F′中，H F′= ，

∵HE′=OD=OC﹣CD=20﹣8=12，E′F′=HF′﹣HE′=16﹣12=4（米）

∴在離橋的一端4米處，拋物線型橋墩高3.5米； 圓弧型橋墩高4米．

【解析】（1）拋物線的解析式為y=ax2+c，把點C（0，8）和點B（16，0），代入即可求出拋物線解析式；（2）設弧AB所在的圓心為O，C為弧AB的中點，CD⊥AB于D，延長CD經過O點，設⊙O的半徑為R，利用勾股定理求出即可；（3）根據題意畫出圖形，利用垂徑定理以及勾股定理得出AO的長，再求出EF的長即可．