Question

【題目】我們已經知道，有一個內角是直角的三角形是直角三角形．其中直角所在的兩條邊叫直角邊，直角所對的邊叫斜邊（如圖①所示）．數學家已發現在一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方和等于斜邊長的平方．如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那么可以用數學語言表達：a2+b2＝c2．已知，如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延長BC到點E，使CE＝3，連接DE．

（1）DE的長為　 　．

（2）動點P從點B出發，以每秒1個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，設點P運動的時間為t秒，求當t為何值時，△ABP和△DCE全等？

（3）若動點P從點B出發，以每秒1個單位的速度僅沿著BE向終點E運動，連接DP．設點P運動的時間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請直接寫出t的值；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）5 （2）3秒或13秒 （3）t＝3秒或4秒或秒

【解析】

（1）根據題意可得：CD＝4，根據勾股定理可求DE的長；

（2）若△ABP與△DCE全等，可得AP＝CE＝3或BP＝CE＝3，根據時間路程的關系可求r的值；

（3）分PD＝DE，PE＝DE，PD＝PE三種情況討論，可求t的值．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC

在Rt△DCE中，DE＝＝＝5

故答案為 5．

（2）若△ABP與△DCE全等

∴BP＝CE或AP＝CE

當BP＝CE＝3時，則t＝＝3秒

當AP＝CE＝3時，則t＝＝13秒

∴求當t為3秒或13秒時，△ABP和△DCE全等．

（3）若△PDE為等腰三角形

則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE

當PD＝DE時，

∵PD＝DE，DC⊥BE

∴PC＝CE＝3

∵BP＝BC﹣CP＝3

∴t＝＝3

當PE＝DE＝5時，

∵BP＝BE﹣PE

∴BP＝9﹣5＝4

∴t＝＝4

當PD＝PE時，

∴PE＝PC+CE＝3+PC

∴PD＝3+PC

在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．

∴（3+PC）2＝16+PC2

∴PC＝

∵BP＝BC﹣PC

∴BP＝

∴t＝＝

綜上所述：當t＝3秒或4秒或秒時，△PDE為等腰三角形．