Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C．連接AC，BC，A（-3，0），C（0，

3

），且當(dāng)x=-4和x=2時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M、N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿BA、BC邊運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
①當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，連接MN，將△BMN沿MN翻折，B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處，求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以B、N、Q為頂點(diǎn)的三角形與△A0C相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
③當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，連接MN，將△BMN沿MN翻折，得到△PMN．并記△PMN與△AOC的重疊部分的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

（1）∵當(dāng)x=-4和x=2時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值y相等，
∴拋物線對(duì)稱軸：x=-

b

2a

=-1，即b=2a；
由C（0，

3

）得：c=

3

；
將A（-3，0）代入y=ax²+2ax+

3

（a≠0）中，得：
9a-6a+

3

=0，a=-

3

3

∴拋物線的解析式：y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

．

（2）由（1）的拋物線解析式知：A（-3，0）、B（1，0）、C（0，

3

），則：
OA=3，OB=1，OC=

3

，即 OC²=OA•OB，又OC⊥AB，則△ABC是直角三角形，且∠CAB=30°，∠ABC=60°；

①△BMN中，BM=BN=t，∠NBM=60°，即△BNM是等邊三角形；
由于△PMN由△BMNA翻轉(zhuǎn)所得，所以△PMN也是等邊三角形，四邊形PNBM是菱形；
∴PN∥AB（如題干圖），得：

PN

AB

=

CN

BC

，代入數(shù)據(jù)，有：

t

4

=

2-t

2

，解得：t=

4

3

；
由tan∠CAO=

3

3

、C（0，

3

）得，直線AC：y=

3

3

x+

3

；
當(dāng)y=t•sin60°=

2 3

3

時(shí)，

3

3

x+

3

=

2 3

3

，x=-1
即 P（-1，

2 3

3

）；
綜上，B點(diǎn)恰好落在AC邊上的P處時(shí)，t=

4

3

，P（-1，

2 3

3

）．

②∵△AOC是一個(gè)含30°角的直角三角形，
∴若以B、N、Q為頂點(diǎn)的三角形與△A0C相似，那么△BNQ也必須是一個(gè)含30°角的直角三角形．
分三種情況討論：
Ⅰ、∠QNB=90°、∠BQN=30°（如②-Ⅰ圖）；
∵∠ABC=∠Q₁BN=60°，∴點(diǎn)Q₁在x軸上，即Q₁（-1，0）；
Ⅱ、∠QBN=90°、∠BQN=30°（如②-Ⅱ圖）；
此時(shí)BQ₂∥AC，設(shè)直線BQ₂：y=

3

3

x+b，代入B（1，0），得：b=-

3

3

∴直線BQ₂：y=

3

3

x-

3

3

，Q₂（-1，-

2 3

3

）；
Ⅲ、∠QNB=90°、∠QBN=30°（如②-Ⅲ圖）；
此時(shí)N、C重合，點(diǎn)Q₃應(yīng)在①的P點(diǎn)處，由①的計(jì)算結(jié)果知：
Q₃C=

4

3

•sin60°=

2 3

3

，而B(niǎo)C=2，即∠CQ₃B=60°，符合條件；
即 Q₃（-1，

2 3

3

）；
綜上，符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)為：Q₁（-1，0）、Q₂（-1，-

2 3

3

）、Q₃（-1，

2 3

3

）．

③當(dāng)點(diǎn)P落在y軸上時(shí)，

PN

OB

=

CN

BC

，即

t

1

=

2-t

2

，解得：t=

2

3

；
當(dāng)點(diǎn)M、O重合時(shí)，t=OB=1；
當(dāng)點(diǎn)P落在AC上時(shí)，由①知，t=

4

3

；
Ⅰ、當(dāng)0＜t≤

2

3

時(shí)，△PMN和△AOC不重合，即S=0；
Ⅱ、當(dāng)

2

3

＜t≤1時(shí)（如③-Ⅱ圖），由

GN

OB

=

CN

CB

可求得：GN=1-

t

2

，PG=PN-GN=t-（1-

t

2

）=

3t

2

-1；
S=S_△PGH=

1

2

×（

3t

2

-1）×（

3t

2

-1）

3

=

3

2

（

3t

2

-1）²；
Ⅲ、當(dāng)1＜t≤

4

3

時(shí)（如③-Ⅲ圖）；
由Ⅱ知，GN=1-

t

2

，GH=

3

GN=

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