Question

【題目】如圖，在△ABC中，D為AC上一點，且CD=CB，以BC為直徑作⊙O，交BD于點E，連接CE，過D作DF⊥AB于點F，∠BCD=2∠ABD．

（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若∠A=60°，DF= ，求⊙O的直徑BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵CD=CB，

∴∠CBD=∠CDB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠CBE=90°，

∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE，

∴∠BCE=∠DCE，

即∠BCD=2∠BCE，

∵∠BCD=2∠ABD，

∴∠ABD=∠BCE，

∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，

∴CB⊥AB，

∵CB為直徑，

∴AB是⊙O的切線

（2）

解：∵∠A=60°，DF= ，

∴在Rt△AFD中，AF= = =1，

在Rt△BFD中，BF=DFtan60°= × =3，

∵DF⊥AB，CB⊥AB，

∴DF∥BC，

∴∠ADF=∠ACB，

∵∠A=∠A，

∴△ADF∽△ACB，

∴ ，

∴ = ，

∴CB=4 ．

【解析】此題考查了切線的判定、等腰三角形的性質以及相似三角形的判定與性質．注意證得△ADF∽△ACB是解此題的關鍵．
（1）由CD=CB，∠BCD=2∠ABD，可證得∠BCE=∠ABD，繼而求得∠ABC=90°，則可證得AB是⊙O的切線；（2）由∠A=60°，DF= ，可求得AF、BF的長，易證得△ADF∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．