Question

如圖，Rt△ABC中，分別以AB、AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，點M是BC的中點，連接MD、ME.
（1）若AB＝8，AC＝4，求DE的長；
（2）求證：AB－AC＝2DM.

Answer 1

（1）；（2）證明見解析.

試題分析：（1）根據三角函數求得AE和AD的長，二者的差就是所求.
（2）延長CD交AB于點F，證明MD是△BCF的中位線，AF=AC，據此即可證得．
（1）直角△ABE中，AE=AB=，
在直角△ACD中，AD=AC=，
則DE=AE-AD=-=.
如圖，延長CD交AB于點F．
在△ADF和△ADC中，∠FAD＝∠CAD，AD＝AD，∠ADF＝∠ADC，∴△ADF≌△ADC（ASA）.∴AC=AF，CD=DF.
又∵M是BC的中點，∴DM是△CBF的中位線.∴DM=BF=（AB-AF）=（AB-AC）.
∴AB-AC=2DM．