Question

如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA 所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系（O、C、F三點在x軸正半軸上）．若⊙P過A、B、E三點（圓心在x軸上），拋物線y=

1

4

x2+bx+c經過A、C兩點，與x軸的另一交點為G，M是FG的中點，正方形CDEF的面積為1．
（1）求B點坐標；
（2）求證：ME是⊙P的切線；
（3）設直線AC與拋物線對稱軸交于N，Q點是此對稱軸上不與N點重合的一動點，
①求△ACQ周長的最小值；
②若FQ=t，S_△ACQ=S，直接寫出S與t之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）如圖甲，連接PE、PB，設PC=n，由正方形CDEF的面積為1，可得CD=CF=1，根據圓和正方形的對稱性知：OP=PC=n，由PB=PE，根據勾股定理即可求得n的值，繼而求得B的坐標；
（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得拋物線的解析式，然后求得FM的長，則可得△PEF∽△EMF，則可證得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切線；
（3）①如圖乙，延長AB交拋物線于A′，連CA′交對稱軸x=3于Q，連AQ，則有AQ=A′Q，△ACQ周長的最小值為AC+A′C的長，利用勾股定理即可求得△ACQ周長的最小值；
②分別當Q點在F點上方時，當Q點在線段FN上時，當Q點在N點下方時去分析即可求得答案．

解答：（1）解：如圖甲，連接PE、PB，設PC=n，
∵正方形CDEF的面積為1，
∴CD=CF=1，
根據圓和正方形的軸對稱性知：OP=PC=n，
∴BC=2PC=2n，
∵而PB=PE，
∴PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²，PE²=PF²+EF²=（n+1）²+1，
∴5n²=（n+1）²+1，
解得：n=1或n=-

1

2

（舍去），
∴BC=OC=2，
∴B點坐標為（2，2）；

（2）證明：如圖甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），
∵A，C在拋物線上，
∴

c=2 1 4 × 4+2b+c=0

，
解得：

c=2 b=- 3 2

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

4

x²-

3

2

x+2=

1

4

（x-3）²-

1

4

，
∴拋物線的對稱軸為x=3，即EF所在直線，
∵C與G關于直線x=3對稱，
∴CF=FG=1，
∴MF=

1

2

FG=

1

2

，
在Rt△PEF與Rt△EMF中，
∠EFM=∠EFP，
∵

FM

EF

=

1 2

1

=

1

2

，

EF

PF

=

1

2

，
∴

FM

EF

=

EF

PF

，
∴△PEF∽△EMF，
∴∠EPF=∠FEM，
∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，
∴ME是⊙P的切線；

（3）解：①如圖乙，延長AB交拋物線于A′，連CA′交對稱軸x=3于Q，連AQ，
則有AQ=A′Q，
∴△ACQ周長的最小值為AC+A′C的長，
∵A與A′關于直線x=3對稱，
∴A（0，2），A′（6，2），
∴A′C=

(6-2) 2+2 2

=2

5

，而AC=

22+22

=2

2

，
∴△ACQ周長的最小值為2

2

+2

5

；
②當Q點在F點上方時，S=S_梯形ACFK-S_△AKQ-S_△CFQ=

1

2

×（3+1）×2-

1

2

×（2-t）×3-

1

2

×t×1=t+1，
同理，可得：當Q點在線段FN上時，S=1-t，
當Q點在N點下方時，S=t-1．

點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，圓的性質，相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題綜合性很強，題目難度較大，解題的關鍵是方程思想、分類討論與數形結合思想的應用．