Question

如圖甲，分別以兩個(gè)彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA 所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系（O、C、F三點(diǎn)在x軸正半軸上）．若⊙P過A、B、E三點(diǎn)（圓心在x軸上），拋物線y=經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為G，M是FG的中點(diǎn)，正方形CDEF的面積為1．
（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證：ME是⊙P的切線；
（3）設(shè)直線AC與拋物線對(duì)稱軸交于N，Q點(diǎn)是此對(duì)稱軸上不與N點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，
①求△ACQ周長(zhǎng)的最小值；
②若FQ=t，S_△ACQ=S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖甲，連接PE、PB，設(shè)PC=n，由正方形CDEF的面積為1，可得CD=CF=1，根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性知：OP=PC=n，由PB=PE，根據(jù)勾股定理即可求得n的值，繼而求得B的坐標(biāo)；
（2）由（1）知A（0，2），C（2，0），即可求得拋物線的解析式，然后求得FM的長(zhǎng)，則可得△PEF∽△EMF，則可證得∠PEM=90°，即ME是⊙P的切線；
（3）①如圖乙，延長(zhǎng)AB交拋物線于A′，連CA′交對(duì)稱軸x=3于Q，連AQ，則有AQ=A′Q，△ACQ周長(zhǎng)的最小值為AC+A′C的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求得△ACQ周長(zhǎng)的最小值；
②分別當(dāng)Q點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí)，當(dāng)Q點(diǎn)在線段FN上時(shí)，當(dāng)Q點(diǎn)在N點(diǎn)下方時(shí)去分析即可求得答案．
解答：（1）解：如圖甲，連接PE、PB，設(shè)PC=n，
∵正方形CDEF的面積為1，
∴CD=CF=1，
根據(jù)圓和正方形的軸對(duì)稱性知：OP=PC=n，
∴BC=2PC=2n，
∵而PB=PE，
∴PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²，PE²=PF²+EF²=（n+1）²+1，
∴5n²=（n+1）²+1，
解得：n=1或n=-（舍去），
∴BC=OC=2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；

（2）證明：如圖甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），
∵A，C在拋物線上，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x+2=（x-3）²-，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=3，即EF所在直線，
∵C與G關(guān)于直線x=3對(duì)稱，
∴CF=FG=1，
∴MF=FG=，
在Rt△PEF與Rt△EMF中，
∠EFM=∠EFP，
∵，，
∴，
∴△PEF∽△EMF，
∴∠EPF=∠FEM，
∴∠PEM=∠PEF+∠FEM=∠PEF+∠EPF=90°，
∴ME是⊙P的切線；

（3）解：①如圖乙，延長(zhǎng)AB交拋物線于A′，連CA′交對(duì)稱軸x=3于Q，連AQ，
則有AQ=A′Q，
∴△ACQ周長(zhǎng)的最小值為AC+A′C的長(zhǎng)，
∵A與A′關(guān)于直線x=3對(duì)稱，
∴A（0，2），A′（6，2），
∴A′C==2，而AC==2，
∴△ACQ周長(zhǎng)的最小值為2+2；
②當(dāng)Q點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí)，S=S_梯形ACFK-S_△AKQ-S_△CFQ=×（3+1）×2-×（2-t）×3-×t×1=t+1，
同理，可得：當(dāng)Q點(diǎn)在線段FN上時(shí)，S=1-t，
當(dāng)Q點(diǎn)在N點(diǎn)下方時(shí)，S=t-1．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，題目難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想、分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．