Question

（2010•湘潭）如圖，直線y=-x+6與x軸交于點A，與y軸交于點B，以線段AB為直徑作⊙C，拋物線y=ax²+bx+c過A、C、O三點．
（1）求點C的坐標和拋物線的解析式；
（2）過點B作直線與x軸交于點D，且OB²=OA•OD，求證：DB是⊙C的切線；
（3）拋物線上是否存在一點P，使以P、O、C、A為頂點的四邊形為直角梯形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線AB的解析式，易求得A、B的坐標，由于C是AB的中點，根據A、B的坐標即可求出C點的坐標，進而可根據O、A、C三點的坐標確定拋物線的解析式；
（2）將OA、OB的長代入所給的乘積式中，即可求出OD的長，此時發現OA=OB=OD，由此可證得△ABD是等腰直角三角形，即BD⊥AB，由此可判定DB是⊙C的切線；
（3）連接OC，在前面兩題中已經證得O、C分別是AD、AB的中點，則OC是△ABD的中位線，由此可求得∠OCA=90°，若以P、O、C、A為頂點的四邊形為直角梯形，可有兩種情況：
①以AC、OP為底，OC為高，可先求出直線AC的解析式，由于直線OP與直線AC平行，則它們的斜率相等，由此可求出直線OP的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出點P的坐標；
②以OC、AP為底，AC為高，方法同①．
解答：解：（1）A（6，0），B（0，6）（1分）
連接OC，由于∠AOB=90°，C為AB的中點，則，
所以點O在⊙C上（沒有說明不扣分）；
過C點作CE⊥OA，垂足為E，則E為OA中點，故點C的橫坐標為3；
又點C在直線y=-x+6上，故C（3，3）；（2分）
拋物線過點O，所以c=0，
又拋物線過點A、C，
所以，
解得：；
所以拋物線解析式為；（3分）

（2）OA=OB=6代入OB²=OA•OD，得OD=6；（4分）
所以OD=OB=OA，∠DBA=90°；（5分）
又點B在圓上，故DB為⊙C的切線；（6分）
（通過證相似三角形得出亦可）

（3）假設存在點P滿足題意，
連接OC，因C為AB中點，O在圓上，
故∠OCA=90°，
要使以P、O、C、A為頂點的四邊形為直角梯形，
則∠CAP=90°或∠COP=90°，（7分）
若∠CAP=90°，則OC∥AP，
因OC的方程為y=x，
設AP方程為y=x+b；
又AP過點A（6，0），則b=-6，（8分）
方程y=x-6與聯立解得：，；
故點P₁坐標為（-3，-9）；（9分）
若∠COP=90°，則OP∥AC，同理可求得點P₂（9，-9）；
（用拋物線的對稱性求出亦可）
故存在點P₁坐標為（-3，-9）和P₂（9，-9）滿足題意．（10分）
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、切線的判定、直角梯形的判定以及函數圖象交點坐標的求法等重要知識點，同時還考查了分類討論的數學思想，難度較大．