Question

【題目】如圖，直線AB與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，－4），若點E在線段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，連接AF.

（1）猜想線段AF與BE之間的關系，并證明；

（2）過點O作OM⊥EF垂足為D,OM分別交AF、BA的延長線于點C、M若BE=，求CF的長.

Answer 1

【答案】(1) AF=BE，證明見解析 （2）CF=

【解析】

(1)由已知可得：∠FOE=∠AOB=90°，減去公共角∠AOE可得：∠FOA=∠EOB，又因為OE=OF,OA=OB,可證FOAEOB,即可得AF與BE相等.

（2）由(1)可得∠FAO=∠OBA=∠OAB=45°,可得∠FAE=90°，由A,B坐標可求得AB=4，又AF=BE=，得AE的長.連接EC，根據等腰三角形的“三線合一”可得OM垂直平分EF，則FC=EC，設FC=EC=x，則AC=，在直角三角形AEC中，根據勾股定理列出方程，代入數值即可求得CF的長.

(1) AF=BE，證明：

∵直線AB與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，－4）

∴OA=OB=4

∵OE⊥OF

∴∠FOE=∠AOB=90°

∴∠FOE-∠AOE=∠AOB-∠AOE

即∠FOA=∠EOB

在FOA和EOB中

∴FOAEOB（SAS）

∴AF=BE

（2）連接EC.

∵OA=OB=4，∠AOB=90°

∴∠OBA=∠OAB=45°，AB=4

由（1）得：FOAEOB

∴∠FAO=∠OBA=∠OAB=45°，AF=BE=

∴∠FAE=90°，AE=

∵OE=OF， OM⊥EF

∴OM垂直平分EF

∴FC=EC

設FC=EC=x，則AC=

根據勾股定理得：

解得

∴CF=