Question

【題目】月電科技有限公司用160萬元，作為新產品的研發費用，成功研制出了一種市場急需的電子產品，已于當年投入生產并進行銷售．已知生產這種電子產品的成本為4元/件，在銷售過程中發現：每年的年銷售量y（萬件）與銷售價格x（元/件）的關系如圖所示，其中AB為反比例函數圖象的一部分，BC為一次函數圖象的一部分．設公司銷售這種電子產品的年利潤為s（萬元）．（注：若上一年盈利，則盈利不計入下一年的年利潤；若上一年虧損，則虧損計作下一年的成本．）

（1）請求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數關系式；

（2）求出第一年這種電子產品的年利潤s（萬元）與x（元/件）之間的函數關系式，并求出第一年年利潤的最大值．

（3）假設公司的這種電子產品第一年恰好按年利潤s（萬元）取得最大值時進行銷售，現根據第一年的盈虧情況，決定第二年將這種電子產品每件的銷售價格x（元）定在8元以上（x＞8），當第二年的年利潤不低于103萬元時，請結合年利潤s（萬元）與銷售價格x（元/件）的函數示意圖，求銷售價格x（元/件）的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）當每件的銷售價格定為16元時，第一年年利潤的最大值為﹣16萬元；（3）圖見解析，當11≤x≤21時，第二年的年利潤s不低于103萬元．

【解析】試題分析：（1）依據待定系數法，即可求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數關系式；

（2）分兩種情況進行討論，當x=8時，zmax=-80；當x=16時，zmax=-16；根據-16>-80，可得當每件的銷售價格定為16元時，第一年年利潤的最大值為-16萬元．

（3）根據第二年的年利潤z=（x-4）（-x+28）-16=-x2+32x-128，令z=103，可得方程103=-x2+32x-128，解得x1=11，x2=21，然后在平面直角坐標系中，畫出z與x的函數圖象，根據圖象即可得出銷售價格x（元/件）的取值范圍．

試題解析：（1）當4≤x≤8時，設y=，將A（4，40）代入得k=4×40=160，

∴y與x之間的函數關系式為y=；

當8＜x≤28時，設y=k'x+b，將B（8，20），C（28，0）代入,

得: ，解得，

∴y與x之間的函數關系式為y=﹣x+28，

綜上所述，y=；

（2）當4≤x≤8時，s=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）﹣160=﹣，

∵當4≤x≤8時，s隨著x的增大而增大，

∴當x=8時，smax=﹣=﹣80；

當8＜x≤28時，s=（x﹣4）y﹣160=（x﹣4）（﹣x+28）﹣160=﹣（x﹣16）2﹣16，

∴當x=16時，smax=﹣16；

∵﹣16＞﹣80，

∴當每件的銷售價格定為16元時，第一年年利潤的最大值為﹣16萬元．

（3）∵第一年的年利潤為﹣16萬元，

∴16萬元應作為第二年的成本，

又∵x＞8，

∴第二年的年利潤s=（x﹣4）（﹣x+28）﹣16=﹣x2+32x﹣128，

令s=103，則103=﹣x2+32x﹣128，

解得x1=11，x2=21，

在平面直角坐標系中，畫出s與x的函數示意圖可得：

觀察示意圖可知，當s≥103時，11≤x≤21，

∴當11≤x≤21時，第二年的年利潤s不低于103萬元．