Question

如圖1，設拋物線y=

1

4

x²-

1

2

x-

3

4

交x軸于A，B兩點，頂點為D．以BA為直徑作半圓，圓心為M，半圓交y軸負半軸于C．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）將△ACB繞圓心M順時針旋轉180°，得到三角形APB，如圖2．求點P的坐標；
（3）有一動點Q在線段AB上運動，△QCD的周長在不斷變化時是否存在最小值？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱軸公式即可得出所求的結果．
（2）可先根據拋物線的解析式求出A、B、C三點的坐標，過P作PE⊥x軸于E，根據旋轉的性質不難得出BE=OA，PE=OC，由此可求出P點的坐標．
（3）本題的關鍵是找出Q點的位置，取C關于x軸的對稱點C′，連接C′D與x軸的交點就是Q點．可先求出直線C′D的函數解析式，進而可得出Q點的坐標．

解答：解：（1）由題意可知：拋物線的對稱軸為x=1．

（2）過P作PE⊥x軸于E，則有△PEB≌△OAC
易知A（-1，0）、B（3，0）、
C（0，-

3

）．
∴OA=BE=1，OB=AE=3，EP=OC=

3

∴OE=OB-BE=2
即P點坐標為（2，

3

）．

（3）設C關于x軸的對稱點為C′（0，

3

），
已知拋物線頂點D（1，-1）．
設直線C′D的解析式為y=kx+

3

，則有：
k+

3

=-1，k=-1-

3

因此直線CD的解析式為y=（-1-

3

）x+

3

．
令y=0，則x=

3- 3

2

∴Q點坐標為（

3- 3

2

，0）．

點評：本題主要考查了二次函數的性質、全等三角形的判定和性質等知識點，（3）題找出Q點的位置是解題的關鍵．